往直径为680mm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示-优题课

实验探究：

（1）如图1，对折矩形纸片 $ABCD$ ，使 $AD$ 与 $BC$ 重合，得到折痕 $EF$ ，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点 $A$ 落在 $EF$ 上，并使折痕经过点 $B$ ，得到折痕 $BM$ ，同时得到线段 $BN$ ， $MN$ ．请你观察图1，猜想 $∠ MBN$ 的度数是多少，并证明你的结论．

（2）将图1中的三角形纸片 $BMN$ 剪下，如图2．折叠该纸片，探究 $MN$ 与 $BM$ 的数量关系．写出折叠方案，并结合方案证明你的结论．

如图，已知 $⊙ O$ 的直径 $AB = 12$ ，弦 $AC = 10$ ， $D$ 是 $\hat{BC}$ 的中点，过点 $D$ 作 $DE ⊥ AC$ ，交 $AC$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）求证： $DE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）求 $AE$ 的长．

某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量 $y$ （单位：个）与销售单价 $x$ （单位：元）有如下关系： $y = - x + 60 (30 ⩽ x ⩽ 60)$ ．

设这种双肩包每天的销售利润为 $w$ 元．

（1）求 $w$ 与 $x$ 之间的函数解析式；

（2）这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

（3）如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？

为了参加学校举行的传统文化知识竞赛，某班进行了四次模拟训练，将成绩优秀的人数和优秀率绘制成如下两个不完整的统计图：

请根据以上两图解答下列问题：

（1）该班总人数是　　；

（2）根据计算，请你补全两个统计图；

（3）观察补全后的统计图，写出一条你发现的结论．

如图1，矩形 $OABC$ 的顶点 $A$ ， $C$ 的坐标分别为 $(4, 0)$ ， $(0, 6)$ ，直线 $AD$ 交 $BC$ 于点 $D$ ， $\tan ∠ OAD = 2$ ，抛物线 $M_{1} : y = a x^{2} + bx (a \neq 0)$ 过 $A$ ， $D$ 两点．

（1）求点 $D$ 的坐标和抛物线 $M_{1}$ 的表达式；

（2）点 $P$ 是抛物线 $M_{1}$ 对称轴上一动点，当 $∠ CPA = 90 °$ 时，求所有符合条件的点 $P$ 的坐标；

（3）如图2，点 $E (0, 4)$ ，连接 $AE$ ，将抛物线 $M_{1}$ 的图象向下平移 $m (m > 0)$ 个单位得到抛物线 $M_{2}$ ．

①设点 $D$ 平移后的对应点为点 $D'$ ，当点 $D'$ 恰好在直线 $AE$ 上时，求 $m$ 的值；

②当 $1 ⩽ x ⩽ m (m > 1)$ 时，若抛物线 $M_{2}$ 与直线 $AE$ 有两个交点，求 $m$ 的取值范围．