设，，且，求的值．-优题课

如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳 $BC$ 与地面保持垂直，吊臂 $AB$ 与水平线的夹角为 $64 °$ ，吊臂底部 $A$ 距地面 $1.5 m$ ．（计算结果精确到 $0.1 m$ ，参考数据 $\sin 64 ° \approx 0.90$ ， $\cos 64 ° \approx 0.44$ ， $\tan 64 ° \approx 2.05)$

（1）当吊臂底部 $A$ 与货物的水平距离 $AC$ 为 $5 m$ 时，吊臂 $AB$ 的长为　　 $m$ ．

（2）如果该吊车吊臂的最大长度 $AD$ 为 $20 m$ ，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的长度与货物的高度忽略不计）

如图，已知抛物线经过点 $A (- 1, 0)$ ， $B (4, 0)$ ， $C (0, 2)$ 三点，点 $D$ 与点 $C$ 关于 $x$ 轴对称，点 $P$ 是 $x$ 轴上的一个动点，设点 $P$ 的坐标为 $(m, 0)$ ，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线 $l$ 交抛物线于点 $Q$ ，交直线 $BD$ 于点 $M$ ．

（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；

（2）已知点 $F (0, \frac{1}{2})$ ，当点 $P$ 在 $x$ 轴上运动时，试求 $m$ 为何值时，四边形 $DMQF$ 是平行四边形？

（3）点 $P$ 在线段 $AB$ 运动过程中，是否存在点 $Q$ ，使得以点 $B$ 、 $Q$ 、 $M$ 为顶点的三角形与 $ΔBOD$ 相似？若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图，在三角形 $ABC$ 中， $AB = 6$ ， $AC = BC = 5$ ，以 $BC$ 为直径作 $⊙ O$ 交 $AB$ 于点 $D$ ，交 $AC$ 于点 $G$ ，直线 $DF$ 是 $⊙ O$ 的切线， $D$ 为切点，交 $CB$ 的延长线于点 $E$ ．

（1）求证： $DF ⊥ AC$ ；

（2）求 $\tan ∠ E$ 的值．

学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张，并且每买1张办公桌必须买2把椅子，椅子每把100元，若学校购进20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费24000元；购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费2000元．

（1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元？

（2）若学校购买甲乙两种办公桌共40张，且甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，请你给出一种费用最少的方案，并求出该方案所需费用．

如图，有一铁塔 $AB$ ，为了测量其高度，在水平面选取 $C$ ， $D$ 两点，在点 $C$ 处测得 $A$ 的仰角为 $45 °$ ，距点 $C$ 的10米 $D$ 处测得 $A$ 的仰角为 $60 °$ ，且 $C$ 、 $D$ 、 $B$ 在同一水平直线上，求铁塔 $AB$ 的高度（结果精确到0.1米， $\sqrt{3} \approx 1.732)$