如图，在边长为1的等边三角形中，分别是边上的点，，是的中点，-优题课

题文

如图，在边长为1的等边三角形中，分别是边上的点，，是的中点，与交于点，将沿折起，得到如图所示的三棱锥，其中．

（1）证明：//平面；
（2）证明：平面；
（3）当时，求三棱锥的体积．

科目数学题型解答题难度中等

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桶圆 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1, F_{1}, F_{2}$ 分别为左右焦点, 过点 $P (m, 0) (m < - \sqrt{2})$ 的直线交椭圆于点 $A, B$ 且点 $A, B$ 在 $x$ 轴的上方, $A$ 在 $P, B$ 的中间.

(1) 若 $B$ 是上顶点, $|\vec{B F_{1}}| = |\vec{P F_{1}}|$ , 求 $m$ .

(2) 若 $\vec{F_{1} A} \cdot \vec{F_{2} A} = \frac{1}{3}$ , 且 $O$ 到 $l$ 的距离为 $\frac{4 \sqrt{15}}{15}$ , 求直线 $l$ 的方程.

(3) 求证：对任意的 $m < - \sqrt{2}$ , 使得 $F_{1} A ∥ B F_{2}$ 的直线有且仅有一条.

已知某企业 2021 年第一季度的营业额为 $1.1$ 亿元, 以后每个季度的营业额比上个季度增加 $0.05$ 亿元, 该企业第一季度的利润为 $0.16$ 亿，以后每季度比前一季度增长 $4 %$ .

(1) 求2021年起前20季度营业额的总和；

(2) 请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的 $18 %$ ?

已知在 $△ ABC$ 中, $A, B, C$ 所对边分别为 $a, b, c$ , 且 $a = 3, b = 2 c$ .

(1) 若 $A = \frac{2 π}{3}$ , 求 $△ ABC$ 的面积. (2) 若 $2 sin B - sin C = 1$ , 求 $△ ABC$ 的周长.

如图, 在长方体 $ABCD - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, 已知 $AB = BC = 2, A A_{1} = 3$ .

(1) 若点 $P$ 是棱 $A_{1} D_{1}$ 上的动点, 求三棱锥 $C - PAD$ 的体积.

(2) 求直线 $A B_{1}$ 与平面 $AC C_{1} A_{1}$ 的夹角大小.

定义 $R_{p}$ 数列 $\{a_{n}\} :$ 对 $p \in R$ , 满足:

① $a_{1} + p ⩾ 0, a_{2} + p = 0$ ;

② $\forall n \in N^{*}, a_{4 n - 1} < a_{4 n}$ ;

③ $\forall m, n \in N^{*}, a_{m + n} \in \{a_{m} + a_{n} + p, a_{m} + a_{n} + p + 1\}$ .

(1) 对前 4 项 $2, - 2, 0, 1$ 的数列, 可以是 $R_{2}$ 数列吗? 说明理由.

(2) 若 $\{a_{n}\}$ 是 $R_{0}$ 数列, 求 $a_{5}$ 的值.

(3) 是否存在 $p \in R$ , 使得存在 $R_{p}$ 数列 $\{a_{n}\}$ , 对任意 $n \in N^{*}$ , 满足 $S_{n} ⩾ S_{10}$ ? 若存在, 求出所有这样的 $p$ ; 若不存在, 请说明理由.

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