如图，抛物线yax2bxc经过点A（﹣3，0），B（1，0）-优题课

如图，抛物线y=ax²+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

根据要求，解答下列问题：

①方程 $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 的解为　　；

②方程 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 的解为　　；

③方程 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ 的解为　　；

$\dots$

（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：

①方程 $x^{2} - 9 x + 8 = 0$ 的解为　　；

②关于 $x$ 的方程　　的解为 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = n$ ．

（3）请用配方法解方程 $x^{2} - 9 x + 8 = 0$ ，以验证猜想结论的正确性．

如图①，已知 $ΔABC$ 的三个顶点坐标分别为 $A (- 1, 0)$ 、 $B (3, 0)$ 、 $C (0, 3)$ ，直线 $BE$ 交 $y$ 轴正半轴于点 $E$ ．

（1）求经过 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点的抛物线解析式及顶点 $D$ 的坐标；

（2）连接 $BD$ 、 $CD$ ，设 $∠ DBO = α$ ， $∠ EBO = β$ ，若 $\tan (α - β) = 1$ ，求点 $E$ 的坐标；

（3）如图②，在（2）的条件下，动点 $M$ 从点 $C$ 出发以每秒 $\sqrt{2}$ 个单位的速度在直线 $BC$ 上移动（不考虑点 $M$ 与点 $C$ 、 $B$ 重合的情况），点 $N$ 为抛物线上一点，设点 $M$ 移动的时间为 $t$ 秒，在点 $M$ 移动的过程中，以 $E$ 、 $C$ 、 $M$ 、 $N$ 四个点为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，直接写出所有满足条件的 $t$ 值及点 $M$ 的个数；若不能，请说明理由．

已知：如图①，将 $∠ D = 60 °$ 的菱形 $ABCD$ 沿对角线 $AC$ 剪开，将 $ΔADC$ 沿射线 $DC$ 方向平移，得到 $ΔBCE$ ，点 $M$ 为边 $BC$ 上一点（点 $M$ 不与点 $B$ 、点 $C$ 重合），将射线 $AM$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $60 °$ ，与 $EB$ 的延长线交于点 $N$ ，连接 $MN$ ．

（1）①求证： $∠ ANB = ∠ AMC$ ；

②探究 $ΔAMN$ 的形状；

（2）如图②，若菱形 $ABCD$ 变为正方形 $ABCD$ ，将射线 $AM$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $45 °$ ，原题其他条件不变，（1）中的①、②两个结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明．

某花店准备购进甲、乙两种花卉，若购进甲种花卉20盆，乙种花卉50盆，需要720元；若购进甲种花卉40盆，乙种花卉30盆，需要880元．

（1）求购进甲、乙两种花卉，每盆各需多少元？

（2）该花店销售甲种花卉每盆可获利6元，销售乙种花卉每盆可获利1元，现该花店准备拿出800元全部用来购进这两种花卉，设购进甲种花卉 $x$ 盆，全部销售后获得的利润为 $W$ 元，求 $W$ 与 $x$ 之间的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，考虑到顾客需求，要求购进乙种花卉的数量不少于甲种花卉数量的6倍，且不超过甲种花卉数量的8倍，那么该花店共有几种购进方案？在所有的购进方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？

如图， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径， $CD$ 切 $⊙ O$ 于点 $C$ ，与 $BA$ 的延长线交于点 $D$ ， $OE ⊥ AB$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，连接 $CA$ 、 $CE$ 、 $CB$ ，过点 $A$ 作 $AF ⊥ CE$ 于点 $F$ ，延长 $AF$ 交 $BC$ 于点 $P$ ．

（1）求证： $CA = CP$ ；

（2）连接 $OF$ ，若 $AC = \sqrt{3}$ ， $∠ D = 30 °$ ，求线段 $OF$ 的长．