如图，抛物线yax2bxc经过点A（﹣3，0），B（1，0）-优题课

如图，抛物线y=ax²+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

计算： $| - 5 | - {(π - 2020)}^{0} + 2 \cos 60 ° + {(\frac{1}{3})}^{- 1}$ ．

如图，二次函数 $y = a x^{2} + bx + c$ 的图象过 $O (0, 0)$ 、 $A (1, 0)$ 、 $B (\frac{3}{2}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{2})$ 三点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）若线段 $OB$ 的垂直平分线与 $y$ 轴交于点 $C$ ，与二次函数的图象在 $x$ 轴上方的部分相交于点 $D$ ，求直线 $CD$ 的解析式；

（3）在直线 $CD$ 下方的二次函数的图象上有一动点 $P$ ，过点 $P$ 作 $PQ ⊥ x$ 轴，交直线 $CD$ 于 $Q$ ，当线段 $PQ$ 的长最大时，求点 $P$ 的坐标．

如图， $⊙ O$ 的半径为 $R$ ，其内接锐角三角形 $ABC$ 中， $∠ A$ 、 $∠ B$ 、 $∠ C$ 所对的边分别是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ．

（1）求证： $\frac{a}{\sin ∠ A} = \frac{b}{\sin ∠ B} = \frac{c}{\sin ∠ C} = 2 R$ ；

（2）若 $∠ A = 60 °$ ， $∠ C = 45 °$ ， $BC = 4 \sqrt{3}$ ，利用（1）的结论求 $AB$ 的长和 $\sin ∠ B$ 的值．

如图，已知直线 $l : y = - x + 5$ ．

（1）当反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0, x > 0)$ 的图象与直线 $l$ 在第一象限内至少有一个交点时，求 $k$ 的取值范围．

（2）若反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0, x > 0)$ 的图象与直线 $l$ 在第一象限内相交于点 $A (x_{1}$ ， $y_{1})$ 、 $B (x_{2}$ ， $y_{2})$ ，当 $x_{2} - x_{1} = 3$ 时，求 $k$ 的值，并根据图象写出此时关于 $x$ 的不等式 $- x + 5 < \frac{k}{x}$ 的解集．

如图，点 $P$ 、 $Q$ 分别是等边 $ΔABC$ 边 $AB$ 、 $BC$ 上的动点（端点除外），点 $P$ 、点 $Q$ 以相同的速度，同时从点 $A$ 、点 $B$ 出发．

（1）如图1，连接 $AQ$ 、 $CP$ ．求证： $ΔABQ ≅ ΔCAP$ ；

（2）如图1，当点 $P$ 、 $Q$ 分别在 $AB$ 、 $BC$ 边上运动时， $AQ$ 、 $CP$ 相交于点 $M$ ， $∠ QMC$ 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；

（3）如图2，当点 $P$ 、 $Q$ 在 $AB$ 、 $BC$ 的延长线上运动时，直线 $AQ$ 、 $CP$ 相交于 $M$ ， $∠ QMC$ 的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．

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