已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，它的一个顶点-优题课

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若，是椭圆上关轴对称的任意两点，设点，连接交椭圆于另一点，求证：直线与轴相交于定点；
（Ⅲ）设为坐标原点，在（Ⅱ）的条件下，过点的直线交椭圆于，两点，求的取值范围．

科目数学题型解答题难度中等

已知函数 $f (x) = 4 tanxsin (\frac{π}{2} - x) \cos (x - \frac{π}{3}) - \sqrt{3}$ .

（1）求 $f (x)$ 的定义域与最小正周期；

（2）讨论f(x)在区间 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ 上的单调性.

已知，椭圆C以过点， $A (1, \frac{3}{2})$ ，两个焦点为 $(- 1 ， 0)$ $(1, 0)$ 。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。

设 $f (x) = e^{x} (a x^{2} + x + 1)$ ，且曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线与x轴平行。

（Ⅰ）求 $a$ 的值，并讨论 $f (x)$ 的单调性；

（Ⅱ）证明：当 $θ \in [0, \frac{π}{2}] 时， |f (\cos θ) - f (sin θ)| < 2$

某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品。从两个分厂生产的零件中个抽出500件，量其内径尺寸，的结果如下表：

（Ⅰ）试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；

（Ⅱ）由于以上统计数据填下面 $2 \times 2$ 列联表，并问是否有99%的把握认为"两个分厂生产的零件的质量有差异"。

附： $x^{2} = \frac{n (n_{11} n_{22} - n_{12} n_{21})^{2}}{n_{1 +} n_{2 +} n_{+ 1} n_{+ 2}}, \frac{p (x^{2} \geq k)}{k} \frac{0.05 0.01}{3.841 6.635}$

如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。

（Ⅰ）若 $CD = 2$ ， $平面 ABCD ⊥ 平面 DCEF$ ，求直线MN的长；

（Ⅱ）用反证法证明：直线ME与BN是两条异面直线。