问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A-优题课

问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A、B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．

探究：
请您结合图2给予证明，
归纳：
圆外一点到圆上各点的最短距离是：这点到连接这点与圆心连线与圆交点之间的距离．
图中有圆，直接运用：
如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是       ．

图中无圆，构造运用：
如图4，在边长为2的菱形中，∠=60°，是边的中点，是边上一动点，将△沿所在的直线翻折得到△，连接,请求出长度的最小
值．

解：由折叠知，又M是AD的中点，可得，故点在以AD为直径的圆上．如图8，以点M为圆心，MA为半径画⊙M，过M作MH⊥CD，垂足为H，（请继续完成下列解题过程）
迁移拓展，深化运用：
如图6，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是      ．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：圆幂定理

如图， $B$ 地在 $A$ 地的北偏东 $56 °$ 方向上， $C$ 地在 $B$ 地的北偏西 $19 °$ 方向上，原来从 $A$ 地到 $C$ 地的路线为 $A \to B \to C$ ，现在沿 $A$ 地北偏东 $26 °$ 方向新修了一条直达 $C$ 地的分路，路程比原来少了20千米．求从 $A$ 地直达 $C$ 地的路程（结果保留整数．参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73)$

如图， $ΔABC$ 内接于圆 $O$ ，且 $AB = AC$ ，延长 $BC$ 到点 $D$ ，使 $CD = CA$ ，连接 $AD$ 交圆 $O$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $ΔABE ≅ ΔCDE$ ；

（2）填空：

①当 $∠ ABC$ 的度数为　　时，四边形 $AOCE$ 是菱形．

②若 $AE = \sqrt{3}$ ， $AB = 2 \sqrt{2}$ ，则 $DE$ 的长为　　．

某中学为培养学生的阅读习惯，开展了"读书周"活动，并随机调查了该校部分学生这一周的课外阅读时间，将结果绘制成了如下尚不完整的统计图表

学生课外阅读时间统计表

阅读时间 $/ h$	频数
3	3
4	$m$
5	30
6	12
7	3

请你根据以上信息回答下列问题

（1）填空： $m =$ 　　，本次调查的人数为　　；

（2）本次调查中，学生阅读时间的中位数为　　 $h$ ；

（3）扇形统计图中，课外阅读 $6 h$ 所对应的圆心角的度数是　　；

（4）根据调查数据，发现这一周的人均阅读时间比活动前增加了 $25 %$ ，求活动前的人均阅读时间．

如图1，过点 $A (8, 0)$ 的抛物线 $y = a x^{2} + bx$ 与直线 $y = \frac{2}{3} x$ 交于点 $B (6, n)$ ．点 $P$ 是线段 $OB$ 上一动点，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为点 $D$ ，交抛物线于点 $E$ ．设 $ΔBOE$ 的面积为 $S$ ，点 $P$ 的横坐标为 $m$ ．

（1）请直接写出 $n$ 的值及抛物线的解析式．

（2）为探究 $S$ 最大时点 $P$ 的位置，甲、乙两同学结合图形给出如下解析：

甲：借助 $PE$ 的长与三角形面积公式，求出 $S$ 关于 $m$ 的函数关系式，可确定点 $P$ 的位置．

乙：当点 $P$ 运动到点 $O$ 或点 $B$ 时， $S$ 的值可看作0，则当点 $P$ 运动到 $OB$ 中点时， $S$ 最大，即 $S$ 最大时，点 $P$ 为 $OB$ 的中点．

请参考甲的方法求出 $S$ 最大时点 $P$ 的坐标，进而判断乙的猜想是否正确，并说明理由．

（3）拓展探究：如图2，直线 $l$ 与任意抛物线相交于 $M$ 、 $N$ 两点， $G$ 是线段 $MN$ 上的一个动点，过点 $G$ 作抛物线对称轴的平行线，交该抛物线于点 $H$ ．当 $ΔMHN$ 的面积最大时，点 $G$ 一定是线段 $MN$ 的中点吗？试作出判断并说明理由．

（1）探索发现

如图1，在 $ΔABC$ 中，点 $D$ 在边 $BC$ 上， $ΔABD$ 与 $ΔADC$ 的面积分别记为 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ ，试判断 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 与 $\frac{BD}{CD}$ 的数量关系，并说明理由．

（2）阅读解析

小东遇到这样一个问题：如图2，在 $Rt Δ ABC$ 中， $AB = AC$ ， $∠ BAC = 90 °$ ，射线 $AM$ 交 $BC$ 于点 $D$ ，点 $E$ 、 $F$ 在 $AM$ 上，且 $∠ CEM = ∠ BFM = 90 °$ ，试判断 $BF$ 、 $CE$ 、 $EF$ 三条线段之间的数量关系．

小东利用一对全等三角形，经过推理使问题得以解决．

填空：①图2中的一对全等三角形为　　；

② $BF$ 、 $CE$ 、 $EF$ 三条线段之间的数量关系为　　．

（3）类比探究

如图3，在四边形 $ABCD$ 中， $AB = AD$ ， $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$ ，点 $E$ 、 $F$ 在射线 $AC$ 上，且 $∠ BCF = ∠ DEF = ∠ BAD$ ．

①判断 $BC$ 、 $DE$ 、 $CE$ 三条线段之间的数量关系，并说明理由；

②若 $OD = 3 OB$ ， $ΔAED$ 的面积为2，直接写出四边形 $ABCD$ 的面积．