（本小题满分14分）如图，已知椭圆
的离心率为 
，F1、F2为其左、右焦点，过F1的直线
交椭圆于A、B两点，△F1AF2的周长为
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）；
（3）直线m也过F1与且与椭圆交于C、D两点，且
，设线段AB、CD的中点分别为M、N两点，试问：直线MN是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
设
，
．证明：当且仅当
时，存在数列
满足以下条件：
（ⅰ）
，
；
（ⅱ）
存在；
（ⅲ）
，．
求满足下列关系式组
的正整数解组
的个数．
如题一图，
是圆内接四边形．
与
的交点为
，
是弧
上一点，连接
并延长交
于点
，点
分别在
，
的延长线上，满足
，
，求证：
四点共圆． 
求证：
（I）
；
（Ⅱ）函数
在区间（0，2）内至少有一个零点；
（III）设
是函数的两个零点，则
某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨．甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大?