如图，抛物线与坐标轴相交于、、三点，是线段上一动点（端点除外-优题课

如图，抛物线与坐标轴相交于、、三点，是线段上一动点（端点除外），过作，交于点，连接．

（1）直接写出、、的坐标；
（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标；
（3）求面积的最大值，并判断当的面积取最大值时，以、为邻边的平行四边形是否为菱形．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二次函数在给定区间上的最值

为了丰富校园文化生活，提高学生的综合素质，促进中学生全面发展，学校开展了多种社团活动．小明喜欢的社团有：合唱社团、足球社团、书法社团、科技社团（分别用字母 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 依次表示这四个社团），并把这四个字母分别写在四张完全相同的不透明的卡片的正面上，然后将这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．

（1）小明从中随机抽取一张卡片是足球社团 $B$ 的概率是　　．

（2）小明先从中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母后不放回，再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片，记录下卡片上的字母．请你用列表法或画树状图法求出小明两次抽取的卡片中有一张是科技社团 $D$ 的概率．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = - x^{2} + bx + c$ 经过点 $A (- 1, 0)$ 和点 $C (0, 4)$ ，交 $x$ 轴正半轴于点 $B$ ，连接 $AC$ ，点 $E$ 是线段 $OB$ 上一动点（不与点 $O$ ， $B$ 重合），以 $OE$ 为边在 $x$ 轴上方作正方形 $OEFG$ ，连接 $FB$ ，将线段 $FB$ 绕点 $F$ 逆时针旋转 $90 °$ ，得到线段 $FP$ ，过点 $P$ 作 $PH / / y$ 轴， $PH$ 交抛物线于点 $H$ ，设点 $E (a, 0)$ ．

（1）求抛物线的解析式．

（2）若 $ΔAOC$ 与 $ΔFEB$ 相似，求 $a$ 的值．

（3）当 $PH = 2$ 时，求点 $P$ 的坐标．

如图，四边形 $ABCD$ 是菱形， $∠ BAD = 120 °$ ，点 $E$ 在射线 $AC$ 上（不包括点 $A$ 和点 $C)$ ，过点 $E$ 的直线 $GH$ 交直线 $AD$ 于点 $G$ ，交直线 $BC$ 于点 $H$ ，且 $GH / / DC$ ，点 $F$ 在 $BC$ 的延长线上， $CF = AG$ ，连接 $ED$ ， $EF$ ， $DF$ ．

（1）如图1，当点 $E$ 在线段 $AC$ 上时，

①判断 $ΔAEG$ 的形状，并说明理由．

②求证： $ΔDEF$ 是等边三角形．

（2）如图2，当点 $E$ 在 $AC$ 的延长线上时， $ΔDEF$ 是等边三角形吗？如果是，请证明你的结论；如果不是，请说明理由．

2018年非洲猪瘟疫情暴发后，专家预测，2019年我市猪肉售价将逐月上涨，每千克猪肉的售价 $y_{1}$ （元 $)$ 与月份 $x (1 ⩽ x ⩽ 12$ ，且 $x$ 为整数）之间满足一次函数关系，如下表所示．每千克猪肉的成本 $y_{2}$ （元 $)$ 与月份 $x (1 ⩽ x ⩽ 12$ ，且 $x$ 为整数）之间满足二次函数关系，且3月份每千克猪肉的成本全年最低，为9元，如图所示．

月份 $x$	$\dots$	3	4	5	6	$\dots$
售价 $y_{1} /$ 元	$\dots$	12	14	16	18	$\dots$

（1）求 $y_{1}$ 与 $x$ 之间的函数关系式．

（2）求 $y_{2}$ 与 $x$ 之间的函数关系式．

（3）设销售每千克猪肉所获得的利润为 $w$ （元 $)$ ，求 $w$ 与 $x$ 之间的函数关系式，哪个月份销售每千克猪肉所获得的利润最大？最大利润是多少元？

如图， $ΔABC$ 内接于 $⊙ O$ ， $AD$ 与 $BC$ 是 $⊙ O$ 的直径，延长线段 $AC$ 至点 $G$ ，使 $AG = AD$ ，连接 $DG$ 交 $⊙ O$ 于点 $E$ ， $EF / / AB$ 交 $AG$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $EF$ 与 $⊙ O$ 相切．

（2）若 $EF = 2 \sqrt{3}$ ， $AC = 4$ ，求扇形 $OAC$ 的面积．