已知椭圆的左、右焦点分别是
,离心率为
,过
且垂直于
轴的直线被椭圆
截得的线段长为
;
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若P为椭圆C在第一象限内的任意一点,过点P且斜率为的直线与椭圆相切,设
的斜率分别为
,试证明
为定值,并求出此定值;
(Ⅲ)若直线与椭圆
交于不同的两点
,且原点O到直线l的距离为1,设
,当
时,求
的面积
的取值范围.
已知在点
处的切线方程与直线
垂直.
(Ⅰ)若,
恒成立,求实数
的取值范围.
(Ⅱ)当时,求证:
.
设函数,数列
满足
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)记试比较
与Q的大小关系,并说明理由.
下图是一几何体的直观图、主视图、俯视图、左视图.
(Ⅰ)若为
的中点,求证:
面
;
(Ⅱ)证明:∥面
;
(Ⅲ)求面与面
所成的二面角(锐角)的余弦值.
山东省实验中学为了活跃师生的课外文化生活,在2015年3月中旬举办了一次知识竞赛,经过层层筛选,最后五名同学进入了总决赛.在进行笔答题知识竞赛中,最后一个大题是选做题,要求参加竞赛的五名选手从2道题中选做一道进行解答,假设这5位选手选做每一题的可能性均为,求
(Ⅰ)其中甲乙2位选手选做同一道题的概率.
(Ⅱ)设这5位选手中选做第1题的人数为x,求x的分布列及数学期望.
设函数,其中向量
,
,
.
(Ⅰ)求函数的最大值和单调递增区间;
(Ⅱ)将函数的图象沿x轴进行平移,使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称,如何进行平移使其平移长度最小?