已知椭圆的左、右焦点分别是
,离心率为
,过
且垂直于
轴的直线被椭圆
截得的线段长为
;
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若P为椭圆C在第一象限内的任意一点,过点P且斜率为的直线与椭圆相切,设
的斜率分别为
,试证明
为定值,并求出此定值;
(Ⅲ)若直线与椭圆
交于不同的两点
,且原点O到直线l的距离为1,设
,当
时,求
的面积
的取值范围.
已知函数f(x)=-aln x++x(a≠0),
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x-2y=0垂直,求实数a的值;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率与等轴双曲线的离心率互为倒数关系,直线l:x-y+
=0与以原点为圆心, 以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设M是椭圆的上顶点,过点M分别作直线MA,MB交椭圆于A,B两点,设两直线的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=4,证明:直线AB过定点.
已知定点A(p为常数,p>0),B为x轴负半轴上的一个动点,动点M使得|AM|=|AB|,且线段BM的中点G在y轴上.
(1)求动点M的轨迹C的方程;
(2)设EF为曲线C的一条动弦(EF不垂直于x轴),其垂直平分线与x轴交于点T(4,0),当p=2时,求|EF|的最大值.
设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆C:=1(a>b>0)上两点,已知m=
,n=
,若m·n=0且椭圆的离心率e=
,短轴长为2,O为坐标原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)试问△AOB的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
已知动点P到点A(-2,0)与点B(2,0)的斜率之积为-,点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)若点Q为曲线C上的一点,直线AQ,BQ与直线x=4分别交于M,N两点,直线BM与椭圆的交点为D.求证,A,D,N三点共线.