（年湖南湘西12分）湘西盛产椪柑，春节期间，一外地运销客户安-优题课

（年湖南湘西12分）湘西盛产椪柑，春节期间，一外地运销客户安排15辆汽车装运A、B、C三种不同品质的椪柑120吨到外地销售，按计划15辆汽车都要装满且每辆汽车只能装同一种品质的椪柑，每种椪柑所用车辆部不少于3辆．
（1）设装运A种椪柑的车辆数为x辆，装运B种椪柑车辆数为y辆，根据下表提供的信息，求出y与x之间的函数关系式；

椪柑品种	A	B	C
每辆汽车运载量	10	8	6
每吨椪柑获利（元）	800	1200	1000

（2）在（1）条件下，求出该函数自变量x的取值范围，车辆的安排方案共有几种？请写出每种安排方案；
（3）为了减少椪柑积压，湘西州制定出台了促进椪柑销售的优惠政策，在外地运销客户原有获利不变的情况下，政府对外地运销客户，按每吨50元的标准实行运费补贴．若要使该外地运销客户所获利润W（元）最大，应采用哪种车辆安排方案？并求出利润W（元）的最大值？

科目数学题型解答题难度中等

在等边 $ΔABC$ 中， $AB = 6$ ， $BD ⊥ AC$ ，垂足为 $D$ ，点 $E$ 为 $AB$ 边上一点，点 $F$ 为直线 $BD$ 上一点，连接 $EF$ ．

（1）将线段 $EF$ 绕点 $E$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到线段 $EG$ ，连接 $FG$ ．

①如图1，当点 $E$ 与点 $B$ 重合，且 $GF$ 的延长线过点 $C$ 时，连接 $DG$ ，求线段 $DG$ 的长；

②如图2，点 $E$ 不与点 $A$ ， $B$ 重合， $GF$ 的延长线交 $BC$ 边于点 $H$ ，连接 $EH$ ，求证： $BE + BH = \sqrt{3} BF$ ；

（2）如图3，当点 $E$ 为 $AB$ 中点时，点 $M$ 为 $BE$ 中点，点 $N$ 在边 $AC$ 上，且 $DN = 2 NC$ ，点 $F$ 从 $BD$ 中点 $Q$ 沿射线 $QD$ 运动，将线段 $EF$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $60 °$ 得到线段 $EP$ ，连接 $FP$ ，当 $NP + \frac{1}{2} MP$ 最小时，直接写出 $ΔDPN$ 的面积．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + bx - 4 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于点 $A (- 1, 0)$ ， $B (4, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）直线 $l$ 为该抛物线的对称轴，点 $D$ 与点 $C$ 关于直线 $l$ 对称，点 $P$ 为直线 $AD$ 下方抛物线上一动点，连接 $PA$ ， $PD$ ，求 $ΔPAD$ 面积的最大值．

（3）在（2）的条件下，将抛物线 $y = a x^{2} + bx - 4 (a \neq 0)$ 沿射线 $AD$ 平移 $4 \sqrt{2}$ 个单位，得到新的抛物线 $y_{1}$ ，点 $E$ 为点 $P$ 的对应点，点 $F$ 为 $y_{1}$ 的对称轴上任意一点，在 $y_{1}$ 上确定一点 $G$ ，使得以点 $D$ ， $E$ ， $F$ ， $G$ 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点 $G$ 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程．

对于任意一个四位数 $m$ ，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数 $m$ 为"共生数"．例如： $m = 3507$ ，因为 $3 + 7 = 2 \times (5 + 0)$ ，所以3507是"共生数"； $m = 4135$ ，因为 $4 + 5 \neq 2 \times (1 + 3)$ ，所以4135不是"共生数"．

（1）判断5313，6437是否为"共生数"？并说明理由；

（2）对于"共生数" $n$ ，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记 $F (n) = \frac{n}{3}$ ．求满足 $F (n)$ 各数位上的数字之和是偶数的所有 $n$ ．

重庆小面是重庆美食的名片之一，深受外地游客和本地民众欢迎．某面馆向食客推出经典特色重庆小面，顾客可到店食用（简称"堂食"小面），也可购买搭配佐料的袋装生面（简称"生食"小面）．已知3份"堂食"小面和2份"生食"小面的总售价为31元，4份"堂食"小面和1份"生食"小面的总售价为33元．

（1）求每份"堂食"小面和"生食"小面的价格分别是多少元？

（2）该面馆在4月共卖出"堂食"小面4500份，"生食"小面2500份．为回馈广大食客，该面馆从5月1日起每份"堂食"小面的价格保持不变，每份"生食"小面的价格降低 $\frac{3}{4} a %$ ．统计5月的销量和销售额发现："堂食"小面的销量与4月相同，"生食"小面的销量在4月的基础上增加 $\frac{5}{2} a %$ ，这两种小面的总销售额在4月的基础上增加 $\frac{5}{11} a %$ ．求 $a$ 的值．

探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．以下是我们研究函数 $y = x + | - 2 x + 6 | + m$ 性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．

$x$	$\dots$	$- 2$	$- 1$	0	1	2	3	4	5	$\dots$
$y$	$\dots$	6	5	4	$a$	2	1	$b$	7	$\dots$

（1）写出函数关系式中 $m$ 及表格中 $a$ ， $b$ 的值：

$m =$ 　　， $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：　　；

（3）已知函数 $y = \frac{16}{x}$ 的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式 $x + | - 2 x + 6 | + m > \frac{16}{x}$ 的解集．