（本题4分）对于任何实数，我们规定符号，例如：（1）按照这个-优题课

有一张边长为 $a$ 厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加 $b$ 厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：

小明发现这三种方案都能验证公式： $a^{2} + 2 ab + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ，

对于方案一，小明是这样验证的：

$a^{2} + ab + ab + b^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2} = {(a + b)}^{2}$

请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．

方案二：

方案三：

如图，在 $▱ ABCD$ 中， $AC$ 是对角线， $BE ⊥ AC$ ， $DF ⊥ AC$ ，垂足分别为点 $E$ ， $F$ ，求证： $AE = CF$ ．

如图1，直线 $l : y = - \frac{3}{4} x + b$ 与 $x$ 轴交于点 $A (4, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，点 $C$ 是线段 $OA$ 上一动点 $(0 < AC < \frac{16}{5})$ ．以点 $A$ 为圆心， $AC$ 长为半径作 $⊙ A$ 交 $x$ 轴于另一点 $D$ ，交线段 $AB$ 于点 $E$ ，连接 $OE$ 并延长交 $⊙ A$ 于点 $F$ ．

（1）求直线 $l$ 的函数表达式和 $\tan ∠ BAO$ 的值；

（2）如图2，连接 $CE$ ，当 $CE = EF$ 时，

①求证： $ΔOCE ∽ ΔOEA$ ；

②求点 $E$ 的坐标；

（3）当点 $C$ 在线段 $OA$ 上运动时，求 $OE \cdot EF$ 的最大值．

若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．

（1）已知 $ΔABC$ 是比例三角形， $AB = 2$ ， $BC = 3$ ，请直接写出所有满足条件的 $AC$ 的长；

（2）如图1，在四边形 $ABCD$ 中， $AD / / BC$ ，对角线 $BD$ 平分 $∠ ABC$ ， $∠ BAC = ∠ ADC$ ．求证： $ΔABC$ 是比例三角形．

（3）如图2，在（2）的条件下，当 $∠ ADC = 90 °$ 时，求 $\frac{BD}{AC}$ 的值．

某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．

（1）求甲、乙两种商品的每件进价；

（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？