阅读材料：如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对于任意两-优题课

阅读材料：
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对于任意两点A （，），，由勾股定理可得：，我们把  叫做A、B两点之间的距离，记作．

例题：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设点P（x，0）．
A（0，2），B （3，-2），则AB=      ．；PA =       ．；
解：由定义有；．
表示的几何意义是      ．；表示的几何意义是       ．．
解：因为，所以表示的几何意义是点到点的距
离；同理可得，表示的几何意义是点分别到点（0，1）和点（2，3）的距离和．
根据以上阅读材料，解决下列问题：
（1）如图，已知直线与反比例函数（＞0）的图像交于两点，
则点A、B的坐标分别为A（       ，      ），B（       ，    ），AB=       ．
（2）在（1）的条件下，设点，则表示的几何意义
是                   ；试求的最小值，以及取得最小值时点P的坐标．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：平行线分线段成比例二元二次方程组

小云在学习过程中遇到一个函数 $y = \frac{1}{6} | x | (x^{2} - x + 1) (x ⩾ - 2)$ ．

下面是小云对其探究的过程，请补充完整：

（1）当 $- 2 ⩽ x < 0$ 时，对于函数 $y_{1} = | x |$ ，即 $y_{1} = - x$ ，当 $- 2 ⩽ x < 0$ 时， $y_{1}$ 随 $x$ 的增大而　　，且 $y_{1} > 0$ ；对于函数 $y_{2} = x^{2} - x + 1$ ，当 $- 2 ⩽ x < 0$ 时， $y_{2}$ 随 $x$ 的增大而　　，且 $y_{2} > 0$ ；结合上述分析，进一步探究发现，对于函数 $y$ ，当 $- 2 ⩽ x < 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而　　．

（2）当 $x ⩾ 0$ 时，对于函数 $y$ ，当 $x ⩾ 0$ 时， $y$ 与 $x$ 的几组对应值如下表：

$x$	0	$\frac{1}{2}$	1	$\frac{3}{2}$	2	$\frac{5}{2}$	3	$\dots$
$y$	0	$\frac{1}{16}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{7}{16}$	1	$\frac{95}{48}$	$\frac{7}{2}$	$\dots$

结合上表，进一步探究发现，当 $x ⩾ 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大．在平面直角坐标系 $xOy$ 中，画出当 $x ⩾ 0$ 时的函数 $y$ 的图象．

（3）过点 $(0$ ， $m) (m > 0)$ 作平行于 $x$ 轴的直线 $l$ ，结合（1）（2）的分析，解决问题：若直线 $l$ 与函数 $y = \frac{1}{6} | x | (x^{2} - x + 1) (x ⩾ - 2)$ 的图象有两个交点，则 $m$ 的最大值是　　．

如图， $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为 $BA$ 延长线上一点， $CD$ 是 $⊙ O$ 的切线， $D$ 为切点， $OF ⊥ AD$ 于点 $E$ ，交 $CD$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $∠ ADC = ∠ AOF$ ；

（2）若 $\sin C = \frac{1}{3}$ ， $BD = 8$ ，求 $EF$ 的长．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，一次函数 $y = kx + b (k \neq 0)$ 的图象由函数 $y = x$ 的图象平移得到，且经过点 $(1, 2)$ ．

（1）求这个一次函数的解析式；

（2）当 $x > 1$ 时，对于 $x$ 的每一个值，函数 $y = mx (m \neq 0)$ 的值大于一次函数 $y = kx + b$ 的值，直接写出 $m$ 的取值范围．

如图，菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ ， $BD$ 相交于点 $O$ ， $E$ 是 $AD$ 的中点，点 $F$ ， $G$ 在 $AB$ 上， $EF ⊥ AB$ ， $OG / / EF$ ．

（1）求证：四边形 $OEFG$ 是矩形；

（2）若 $AD = 10$ ， $EF = 4$ ，求 $OE$ 和 $BG$ 的长．

已知：如图， $ΔABC$ 为锐角三角形， $AB = AC$ ， $CD / / AB$ ．

求作：线段 $BP$ ，使得点 $P$ 在直线 $CD$ 上，且 $∠ ABP = \frac{1}{2} ∠ BAC$ ．

作法：①以点 $A$ 为圆心， $AC$ 长为半径画圆，交直线 $CD$ 于 $C$ ， $P$ 两点；

②连接 $BP$ ．

线段 $BP$ 就是所求作的线段．

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明： $∵ CD / / AB$ ，

$∴ ∠ ABP =$ 　 $∠ BPC$ 　．

$∵ AB = AC$ ，

$∴$ 点 $B$ 在 $⊙ A$ 上．

又 $∵$ 点 $C$ ， $P$ 都在 $⊙ A$ 上，

$∴ ∠ BPC = \frac{1}{2} ∠ BAC ($ 　　 $)$ （填推理的依据）．

$∴ ∠ ABP = \frac{1}{2} ∠ BAC$ ．