解不等式组:并把解集在数轴上表示出来．-优题课

已知正实数 $a ， b$ 满足： $a + b = 1$ ，且 $\frac{1 - \sqrt{b} + \sqrt{a}}{1 - \sqrt{b} - \sqrt{a}} + \frac{1 - \sqrt{b} - \sqrt{a}}{1 - \sqrt{b} + \sqrt{a}} = - 4$ ，求 $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ 的值.

（1）先化简再求值： $\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} b + a b^{2}} \div (1 - \frac{a^{2} + b^{2}}{2 ab})$ ，其中 $a = 2 + \sqrt{3} ， b = 2 - \sqrt{3}$

（2）已知 $a ， b ， c$ 为 $△ ABC$ 的三边，化简： $\sqrt{{(a + b + c)}^{2}} + \sqrt{{(a - b - c)}^{2}} + \sqrt{{(b - a - c)}^{2}}$ .

若 $\frac{1}{3 - \sqrt{7}}$ 的整数部分是 $a$ ，小数部分是 $b$ ，求 $a^{2} + (1 + \sqrt{7}) ab$ 的值.

在等腰梯形 $ABCD$ 中， $AB = DC = 5, AD = 4, BC = 10$ ，点 $E$ 在下底边 $BC$ 上，点 $F$ 在腰 $AB$ 上.

（1）若 $EF$ 平分等腰梯形 $ABCD$ 的周长，设 $BE$ 长为 $x$ ，试用含 $x$ 的代数式表示 $△ BEF$ 的面积；

（2）是否存在线段 $EF$ 将等腰梯形 $ABCD$ 的周长和面积同时平分?若存在，求出此时 $BE$ 的长；若不存在，请说明理由；

（3）是否存在线段 $EF$ 将等腰梯形 $ABCD$ 的周长和面积同时分成 $1 : 2$ 的两部分?若存在，求出此时 $BE$ 的长；若不存在，请说明理由.

如图，在平面直角坐标系中， $△ AOB$ 的边 $OA$ 在 $x$ 轴上， $OA = AB$ ，且线段 $OA$ 的长是方程 $x^{2} - 4 x - 5 = 0$ 的根，过点 $B$ 作 $BE ⊥ x$ 轴，垂足为 $E, tan ∠ BAE = \frac{4}{3}$ ，动点 $M$ 以每秒 $1$ 个单位长度的速度，从点 $A$ 出发，沿线段 $AB$ 向点 $B$ 运动，到达点 $B$ 停止.过点 $M$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $D$ ，以 $MD$ 为边作正方形 $MDCF$ ，点 $C$ 在线段 $OA$ 上，设正方形 $MDCF$ 与 $△ AOB$ 重叠部分的面积为 $S$ ，点 $M$ 的运动时间为 $t (t > 0) s$ .

（1）求点 $B$ 的坐标；

（2）求 $S$ 关于 $t$ 的函数解析式，并写出自变量 $t$ 的取值范围；

（3）当点 $F$ 落在线段 $OB$ 上时，坐标平面内是否存在一点 $P$ ，使以 $M, A, O, P$ 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，直接写出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.