（本小题满分14分）如图，过原点的直线分别与轴，轴成的角，点-优题课

（本小题满分14分）如图，过原点的直线分别与轴，轴成的角，点在上运动，点在上运动，且.

（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）设是轨迹上不同两点，且，
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）判断的面积是否为定值？若是,求出该定值，不是请说明理由.

科目数学题型解答题难度中等

已知曲线 $C_{1}$ 的参数方程是 $\{\begin{cases} x = 2 \cos φ \\ y = 3 \sin φ \end{cases} (φ 为参数)$ ，以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 $C_{2}$ 的坐标系方程是 $ρ = 2$ ，正方形 $A B C D$ 的顶点都在 $C_{2}$ 上，且 $A, B, C, D$ 依逆时针次序排列，点 $A$ 的极坐标为 $(2, \frac{π}{3})$

（1）求点 $A, B, C, D$ 的直角坐标；
（2）设 $P$ 为 $C_{1}$ 上任意一点，求 ${|P A|}^{2} + {|P B|}^{2} + {|P C|}^{2} + {|P D|}^{2}$ 的取值范围.

如图， $D, E$ 分别为 $△ A B C$ 边 $A B, A C$ 的中点，直线 $D E$ 交 $△ A B C$ 的外接圆于 $F, G$ 两点，若 $C F ∥ A B$ ，证明：
（1） $C D = B C$ ；
（2） $△ B C D = △ G C B$

已知函数 $f (x)$ 满足满足 $f (x) = f ` (1) e^{x - 1} - f (0) x + \frac{1}{2} x^{2}$ ；
（1）求 $f (x)$ 的解析式及单调区间；
（2）若 $f (x) \geq \frac{1}{2} x^{2} + a x + b$ ，求 $(a + 1) b$ 的最大值.

设抛物线 $C : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ,准线为 $l$ , $A \in C$ ,已知以 $F$ 为圆心, $F A$ 为半径的圆 $F$ 交 $l$ 于 $B, D$ 两点；
（1）若 $∠ B F D = 90^{°}$ , $∆ A B D$ 的面积为 $4 \sqrt{2}$ ；求 $p$ 的值及圆 $F$ 的方程；
（2）若 $A, B, F$ 三点在同一直线 $m$ 上，直线 $n$ 与 $m$ 平行，且 $n$ 与 $C$ 只有一个公共点,求坐标原点到 $m, n$ 距离的比值.

如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C = B C = \frac{1}{2} A A_{1}$ ， $D$ 是棱 $A A_{1}$ 的中点， $D C_{1} ⊥ B D$ .

（1）证明： $D C_{1} ⊥ B C$

（2）求二面角 $A_{1} - B D - C_{1}$ 的大小.

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