（本小题满分14分）已知
为实数，对于实数
和
，定义运算“
”： 
设
（1）若
在
上为增函数，求实数的取值范围；
（2）已知
，且当
时，
恒成立，求的取值范围.
已知函数
(
是常数)在
处的切线方程为
，且
.
（Ⅰ）求常数的值；
（Ⅱ）若函数
(
)在区间
内不是单调函数，求实数
的取值范围；
（Ⅲ）证明:
.
已知数列
的前
项和为
，
，
是
与
的等差中项（
）.
（Ⅰ）证明数列
为等比数列；
（Ⅱ）求数列的通项公式；
（Ⅲ）是否存在正整数
，使不等式
（）恒成立，若存在，求出的最大值；若不存在，请说明理由.
已知函数
，
.
（Ⅰ）当
，
时，求
的单调区间；
（2）当
，且
时，求在区间
上的最大值．
设数列
满足：
，
，
．
（Ⅰ）求的通项公式及前
项和
；
（Ⅱ）已知
是等差数列，
为前项和，且
，
.求
的通项公式，并证明：
．
已知向量
，
，设函数
，
.
（Ⅰ）求
的最小正周期与最大值；
（Ⅱ）在
中， 
分别是角
的对边，若
的面积为
，求
的值.