（本小题满分12分）已知四棱锥中，平面，底面是边长为的菱形，-优题课

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题文

（本小题满分12分）已知四棱锥中，平面，底面是边长为的菱形，，．

（1）求证：平面平面；
（2）设与交于点，为中点，若二面角的余弦值为，求的值．

科目数学题型解答题难度较易

知识点：空间向量的应用

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设 $a ＞ 0$ ，讨论函数 $f (x) = \ln x + a (1 ﹣ a) x^{2} - 2 (1 ﹣ a) x$ 的单调性．

如图所示的几何体是将高为2，底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后，将其中一半沿切面向右水平平移后得到的， $A, A `, B, B `$ 分别为 $\hat{C D}, \hat{C ` D `}, \hat{D E}, \hat{D ` E `}$ 的中点， $O_{1}, O_{1} `, O_{2}, O_{2} `$ 分别为 $C D, C ` D `$ ， $D E, D ` E `$ 的中点．

（1）证明： $O_{1} `, A `, O_{2}, B$ 四点共面；
（2）设 $G$ 为 $A A `$ 中点，延长 $A ` O_{1} `$ 到 $H `$ ，使得 $O_{1} ` H ` ⊥ A ` O_{1} `$ ．证明： $B O_{2} ` ⊥$ 平面 $H ` B ` G$ .

在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用 $x_{n}$ 表示编号为 $n$ （ $n$ =1，2，…，6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：

编号 $n$	1	2	3	4	5
成绩 $x_{n}$	70	76	72	70	72

（1）求第6位同学的成绩 $x_{6}$ ，及这6位同学成绩的标准差 $s$ ；
（2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68，75）中的概率．

已知函数 $f (x) = 2 \sin (\frac{1}{3} x - \frac{π}{6}), x \in R$ ．
（1）求 $f (0)$ 的值；
（2）设 $α, β \in [0, \frac{π}{2}], f (3 α + \frac{π}{2}) = \frac{10}{13}, f (3 β + \frac{π}{2}) = \frac{6}{5}$ .求 $\sin (α + β)$ 的值．

已知 $a, b$ 为常数，且 $a \neq 0$ ，函数 $f (x) = - a x + b + a x \ln x$ ， $f (e) = 2$ （ $e$ =2.71828…是自然对数的底数）．
（I）求实数 $b$ 的值；
（II）求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（III）当 $a$ =1时，是否同时存在实数 $m$ 和 $M$ （ $m < M$ ），使得对每一个 $t \in [m, M]$ ，直线 $y = t$ 与曲线 $y = f (x), (x \in [\frac{1}{e}, e])$ 都有公共点？若存在，求出最小的实数 $m$ 和最大的实数 $M$ ；若不存在，说明理由．

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