（本小题满分13分）如图，直角坐标系
中，一直角三角形
，
，
在
轴上且关于原点
对称，
在边
上，
，
的周长为12．若一双曲线
以为焦点，且经过
两点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若一过点
（
为非零常数）的直线
与双曲线相交于不同于双曲线顶点的两点
、
，且
，问在轴上是否存在定点
，使
？若存在，求出所有这样定点的坐标；若不存在，请说明理由．
（本小题满分13分）已知无穷数列
的各项均为正整数，
为数列的前
项和．
（Ⅰ）若数列是等差数列，且对任意正整数都有
成立，求数列的通项公式；
（Ⅱ）对任意正整数，从集合
中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与
一起恰好是1至全体正整数组成的集合．
（ⅰ）求
的值；
（ⅱ）求数列的通项公式．
（本小题满分12分）节能减排是现代生活的追求。长沙地区某一天的温度（单位：
）随时间
（单位：小时）的变化近似满足函数关系：
，
且早上8时的温度为
，
．
（Ⅰ）求函数的解析式，并判断这一天的最高温度是多少？出现在何时？
（Ⅱ）某通宵营业的超市，为节约能源和开支，在环境温度超过
时，才开启中央空调降温，否则关闭中央空调，问中央空调应在何时开启？何时关闭？
（本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，底面
是正方形，
底面，
, 点
是
的中点，
，且交
于点
．
（Ⅰ）求证:
平面
；
（Ⅱ）求证：平面
⊥平面
；
（Ⅲ）求二面角
的余弦值．
（本小题满分12分）某高中数学竞赛培训在某学段共开设有初等代数、平面几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等数论、平面几何都要合格，且初等代数和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格．现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同（见下表），且每一门课程是否合格相互独立．
（Ⅰ）求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；
（Ⅱ）记
表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求的分布列及期望
．
已知函数
，
．
（1）已知
在
上是单调函数，求
的取值范围；
（2）已知
满足
，且
，试比较
与
的大小；
（3）已知
，是否存在正数
，使得关于
的方程
在上有两个不相等的实数根？如果存在，求满足的条件；如果不存在，说明理由．