如图，已知点A（a，3）是一次函数y1xb图象与反比例函数y-优题课

如图1，平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y ＝ a x^{2} + b x + c （ a ＜ 0 ）$ 与 $x$ 轴分别交于点 $A$ 和点 $B （ 1 ， 0 ）$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，对称轴为直线 $x ＝ ﹣ 1$ ，且 $O A ＝ O C$ ， $P$ 为抛物线上一动点．

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）如图2，连接 $A C$ ，当点 $P$ 在直线 $A C$ 上方时，求四边形 $P A B C$ 面积的最大值，并求出此时 $P$ 点的坐标；

（3）设M为抛物线对称轴上一动点，当 $P ， M$ 运动时，在坐标轴上是否存在点 $N$ ，使四边形 $P M C N$ 为矩形？若存在，直接写出点 $P$ 及其对应点 $N$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．

（1）我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）

公式①： $（ a + b + c ） d ＝ a d + b d + c d$

公式②： $（ a + b ）（ c + d ）＝ a c + a d + b c + b d$

公式③： $（ a ﹣ b ）^{2} ＝ a^{2} ﹣ 2 a b + b^{2}$

公式④： $（ a + b ）^{2} ＝ a^{2} + 2 a b + b^{2}$

图1对应公式＿＿＿＿＿，图2对应公式＿＿＿＿＿，图3对应公式＿＿＿＿＿，图4对应公式＿＿＿＿＿．

（2）《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式 $（ a + b ）（ a ﹣ b ）＝ a^{2} ﹣ b^{2}$ 的方法，如图5，请写出证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）

（3）如图6，在等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ B A C ＝ 90 °$ ， $D$ 为 $B C$ 的中点， $E$ 为边 $A C$ 上任意一点（不与端点重合），过点 $E$ 作 $E G ⊥ B C$ 于点 $G$ ，作 $E H ⊥ A D$ 于点 $H$ ，过点 $B$ 作 $B F ∥ A C$ 交 $E G$ 的延长线于点 $F$ ．记 $△ B F G$ 与 $△ C E G$ 的面积之和为 $S_{1}$ ， $△ A B D$ 与 $△ A E H$ 的面积之和为 $S_{2}$ ．

①若 $E$ 为边 $A C$ 的中点，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值为＿＿＿＿＿；

②若 $E$ 不为边 $A C$ 的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由．

2022年的冬奥会在北京举行，其中冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受人们喜爱，多地出现了“一墩难求”的场面．某纪念品商店在开始售卖当天提供 $150$ 个“冰墩墩”后很快就被抢购一空，该店决定让当天未购买到的顾客可通过预约在第二天优先购买，并且从第二天起，每天比前一天多供应m个（m为正整数）．经过连续15天的销售统计，得到第 $x$ 天（ $1 \leq x \leq 15$ ，且 $x$ 为正整数）的供应量 $y_{1}$ （单位：个）和需求量 $y_{2}$ （单位：个）的部分数据如下表，其中需求量 $y_{2}$ 与 $x$ 满足某二次函数关系．（假设当天预约的顾客第二天都会购买，当天的需求量不包括前一天的预约数）

第 $x$ 天	$1$	$2$	…	$6$	…	$11$	…	$15$
供应量 $y_{1}$ （个）	$150$	$150 + m$	…	$150 + 5 m$	…	$150 + 10 m$	…	$150 + 14 m$
需求量 $y_{2}$ （个）	$220$	$229$	…	$245$	…	$220$	…	$164$

（1）直接写出 $y_{1}$ 与 $x$ 和 $y_{2}$ 与 $x$ 的函数关系式；（不要求写出 $x$ 的取值范围）

（2）已知从第 $10$ 天开始，有需求的顾客都不需要预约就能购买到（即前 $9$ 天的总需求量超过总供应量，前 $10$ 天的总需求量不超过总供应量），求 $m$ 的值；（参考数据：前 $9$ 天的总需求量为 $2136$ 个）

（3）在第（2）问 $m$ 取最小值的条件下，若每个“冰墩墩”售价为 $100$ 元，求第 $4$ 天与第 $12$ 天的销售额．

如图，已知 $D$ 为 $⊙ O$ 上一点，点 $C$ 在直径 $B A$ 的延长线上， $B E$ 与 $⊙ O$ 相切，交 $C D$ 的延长线于点 $E$ ，且 $B E ＝ D E$ ．

（1）判断 $C D$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $A C ＝ 4$ ， $\sin C = \frac{1}{3}$ ，

①求 $⊙ O$ 的半径；

②求 $B D$ 的长．

为落实国家“双减”政策，立德中学在课后托管时间里开展了“音乐社团、体育社团、文学社团、美术社团”活动．该校从全校 $600$ 名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动（每人必选且只选一种）”的问卷调查，根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：

（1）参加问卷调查的学生共有＿＿＿＿人；

（2）条形统计图中m的值为＿＿＿＿，扇形统计图中 $α$ 的度数为＿＿＿＿；

（3）根据调查结果，可估计该校 $600$ 名学生中最喜欢“音乐社团”的约有＿＿＿＿人；

（4）现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．