（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆
，设
是椭圆
上任一点，从原点
向圆
作两条切线，切点分别为
．
（1）若直线
互相垂直，且
在第一象限，求圆的方程；
（2）若直线的斜率都存在，并记为
，求证：
在△ABC中，
是角
所对的边，且
．
(1)求角
的大小；(2)若
，求△ABC周长的最大值。
定义：已知函数
与
，若存在一条直线
，使得对公共定义域内的任意实数均满足
恒成立，其中等号在公共点处成立，则称直线为曲线与的“左同旁切线”．已知
．
（1）试探求与是否存在“左同旁切线”，若存在，请求出左同旁切线方程；若不存在，请说明理由．
（2）设
是函数图象上任意两点，
，且存在实数
，使得
，证明：
．
李先生家住
小区，他工作在
科技园区，从家开车到公司上班路上有
、
两条路线（如图），路线上有
、
、
三个路口，各路口遇到红灯的概率均为
；路线上有
、
两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为
，
.
（Ⅰ）若走路线，求最多遇到1次红灯的概率；
（Ⅱ）若走路线，求遇到红灯次数
的数学期望；
（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.
已知函数
在
处的切线的斜率为1．
（
为无理数，
）
（Ⅰ）求
的值及
的最小值；
（Ⅱ）当
时，
，求
的取值范围；
（Ⅲ）求证：
．（参考数据：
）
抛物线
:
上一点
到抛物线的焦点的距离为
，
为抛物线的四个不同的点，其中
、
关于y轴对称，
，
， 
，
，直线
平行于抛物线的以为切点的切线．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）证明：
；
（Ⅲ）到直线
、
的距离分别为
、
，且
，
的面积为48，求直线的方程．