如图，在四边形ABCD中，ABBC，AB1，BC2，CD2，-优题课

【特例感知】

（1）如图1， $△ A O B$ 和 $△ C O D$ 是等腰直角三角形， $∠ A O B ＝ ∠ C O D ＝ 90 °$ ，点 $C$ 在 $O A$ 上，点 $D$ 在 $B O$ 的延长线上，连接 $A D ， B C$ ，线段 $A D$ 与 $B C$ 的数量关系是＿＿＿＿＿＿；

【类比迁移】

（2）如图2，将图1中的 $△ C O D$ 绕着点 $O$ 顺时针旋转 $α （ 0 ° ＜ α ＜ 90 ° ）$ ，那么第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由．

【方法运用】

（3）如图3，若 $A B ＝ 8$ ，点 $C$ 是线段 $A B$ 外一动点， $A C ＝ 3 \sqrt{3}$ ，连接 $B C$ ．

①若将 $C B$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到 $C D$ ，连接 $A D$ ，则 $A D$ 的最大值是＿＿＿＿＿＿；

②若以 $B C$ 为斜边作 $R t △ B C D$ （ $B ， C ， D$ 三点按顺时针排列）， $∠ C D B ＝ 90 °$ ，连接 $A D$ ，当 $∠ C B D ＝ ∠ D A B ＝ 30 °$ 时，直接写出 $A D$ 的值．

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y ＝ k x + b$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B （ 0 ， 9 ）$ ，与直线 $O C$ 交于点．

（1）求直线 $A B$ 的函数表达式；

（2）过点 $C$ 作 $C D ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，将 $△ A C D$ 沿射线 $C B$ 平移得到的三角形记为 $△ A' C' D'$ ，点 $A ， C ， D$ 的对应点分别为 $A' ， C' ， D'$ ，若 $△ A' C' D'$ 与 $△ B O C$ 重叠部分的面积为 $S$ ，平移的距离 $C C' ＝ m$ ，当点 $A'$ 与点 $B$ 重合时停止运动．

①若直线 $C' D'$ 交直线 $O C$ 于点 $E$ ，则线段 $C' E$ 的长为＿＿＿＿＿＿（用含有 $m$ 的代数式表示）；

②当 $0 ＜ m ＜ \frac{10}{3}$ 时， $S$ 与 $m$ 的关系式为＿＿＿＿＿＿；

③当 $S = \frac{24}{5}$ 时， $m$ 的值为＿＿＿＿＿＿．

如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $A B C D$ ， $A D$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A D ， B C$ 的延长线交于点 $E$ ，延长 $C B$ 交 $P A$ 于点 $P$ ， $∠ B A P + ∠ D C E ＝ 90 °$ ．

（1）求证： $P A$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）连接 $A C$ ， $\sin ∠ B A C = \frac{1}{3}$ ， $B C ＝ 2$ ， $A D$ 的长为＿＿＿＿＿＿．

如图，用一根 $60$ 厘米的铁丝制作一个“日”字型框架 $A B C D$ ，铁丝恰好全部用完．

（1）若所围成的矩形框架 $A B C D$ 的面积为 $144$ 平方厘米，则 $A B$ 的长为多少厘米？

（2）矩形框架 $A B C D$ 面积的最大值为＿＿＿＿＿＿平方厘米．

某校积极落实“双减”政策，将要开设拓展课程．为让学生可以根据自己的兴趣爱好选择最喜欢的课程，进行问卷调查，问卷设置以下四种选项：A（综合模型）、B（摄影艺术）、C（音乐鉴赏）、D（劳动实践），随机抽取了部分学生进行调查，每名学生必须且只能选择其中最喜欢的一种课程，并将调查结果整理绘制成如下不完整的统计图．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）此次被调查的学生人数为＿＿＿＿＿＿名；

（2）补全条形统计图；

（3）求拓展课程D（劳动实践）所对应的扇形的圆心角的度数；

（4）根据抽样调查结果，请你估计该校 $800$ 名学生中，有多少名学生最喜欢C（音乐鉴赏）拓展课程．