某商场服装部为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，即确定-优题课

综合探究

如图1，在矩形 $A B C D$ 中（ $A B ＞ A D$ ），对角线 $A C ， B D$ 相交于点 $O$ ，点 $A$ 关于 $B D$ 的对称点为 $A'$ ．连接 $A A'$ 交 $B D$ 于点 $E$ ，连接 $C A'$ ．

（1）求证： $A A ` ⊥ C A `$ ；

（2）以点 $O$ 为圆心， $O E$ 为半径作圆．

①如图2， $⊙ O$ 与 $C D$ 相切，求证： $A A ` = \sqrt{3} C A `$ ；

②如图3， $⊙ O$ 与 $C A'$ 相切， $A D ＝ 1$ ，求 $⊙ O$ 的面积．

小红家到学校有两条公共汽车线路．为了解两条线路的乘车所用时间，小红做了试验，第一周（ $5$ 个工作日）选择A线路，第二周（ $5$ 个工作日）选择 $B$ 线路，每天在固定时间段内乘车 $2$ 次并分别记录所用时间．数据统计如下：（单位： $m i n$ ）

数据统计表

实验序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
A线路所用时间	15	32	15	16	34	18	21	14	35	20
B线路所用时间	25	29	23	25	27	26	31	28	30	24

根据以上信息解答下列问题：

	平均数	中位数	众数	方差
A线路所用时间	22	a	15	63.2
B线路所用时间	b	26.5	c	6.36

（1）填空：a＝＿＿＿＿＿；b＝＿＿＿＿＿；c＝＿＿＿＿＿；

（2）应用你所学的统计知识，帮助小红分析如何选择乘车线路．

综合与实践

主题：制作无盖正方体形纸盒．

素材：一张正方形纸板．

步骤1：如图1，将正方形纸板的边长三等分，画出九个相同的小正方形，并剪去四个角上的小正方形；

步骤2：如图2，把剪好的纸板折成无盖正方体形纸盒．

猜想与证明：（1）直接写出纸板上 $∠ A B C$ 与纸盒上 $∠ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的大小关系；

（2）证明（1）中你发现的结论．

如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ D A B ＝ 30 °$ ．

（1）实践与操作：用尺规作图法过点 $D$ 作 $A B$ 边上的高 $D E$ ；（保留作图痕迹，不要求写作法）

（2）应用与计算：在（1）的条件下， $A D ＝ 4 ， A B ＝ 6$ ，求 $B E$ 的长．

2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站．如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态．当两臂 $A C ＝ B C ＝ 10 m$ ，两臂夹角 $∠ A C B ＝ 100 °$ 时，求 $A ， B$ 两点间的距离．（结果精确到 $0.1 m$ ，参考数据： $\sin 50 ° \approx 0.766 ， \cos 50 ° \approx 0.643 ， \tan 50 ° \approx 1.192$ ）