解方程：-优题课

如图，抛物线 $y = a {(x + 1)}^{2} + 4 (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $C$ 两点，与直线 $y = x - 1$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，直线 $AB$ 与抛物线的对称轴交于点 $E$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点 $P$ 在直线 $AB$ 上方的抛物线上运动．

①点 $P$ 在什么位置时， $ΔABP$ 的面积最大，求出此时点 $P$ 的坐标；

②当点 $P$ 与点 $C$ 重合时，连接 $PE$ ，将 $ΔPEB$ 补成矩形，使 $ΔPEB$ 上的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，求出矩形未知顶点的坐标．

在 $ΔABC$ 中， $AB = AC > BC$ ， $D$ 是 $BC$ 上一点，连接 $AD$ ，作 $ΔADE$ ，使 $AD = AE$ ，且 $∠ DAE = ∠ BAC$ ，过点 $E$ 作 $EF / / BC$ 交 $AB$ 于 $F$ ，连接 $FC$ ．

（1）如图1．

①连接 $BE$ ，求证： $ΔAEB ≅ ΔADC :$

②若 $D$ 是线段 $BC$ 的中点，且 $AC = 6$ ， $BC = 4$ ，求 $CF$ 的长；

（2）如图2，若点 $D$ 在线段 $BC$ 的延长线上，且四边形 $CDEF$ 是矩形，当 $AC = m$ ， $BC = n$ 时，求 $CD$ 的长（用含 $m$ ， $n$ 的代数式表示）．

如图，光明中学一教学楼顶上竖有一块高为 $AB$ 的宣传牌，点 $E$ 和点 $D$ 分别是教学楼底部和外墙上的一点 $(A$ ， $B$ ， $D$ ， $E$ 在同一直线上），小红同学在距 $E$ 点9米的 $C$ 处测得宣传牌底部点 $B$ 的仰角为 $67 °$ ，同时测得教学楼外墙外点 $D$ 的仰角为 $30 °$ ，从点 $C$ 沿坡度为 $1 : \sqrt{3}$ 的斜坡向上走到点 $F$ 时， $DF$ 正好与水平线 $CE$ 平行．

（1）求点 $F$ 到直线 $CE$ 的距离（结果保留根号）；

（2）若在点 $F$ 处测得宣传牌顶部 $A$ 的仰角为 $45 °$ ，求出宣传牌 $AB$ 的高度（结果精确到 $0.01)$ ．（注 $: \sin 67 ° \approx 0.92$ ， $\tan 67 ° \approx 2.36$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73)$

四川省安岳县盛产柠檬和柚子两种水果，今年，某公司计划用两种型号的汽车运输柠檬和柚子到外地销售，运输中要求每辆汽车都要满载满运，且只能装运一种水果．若用3辆汽车装载柠檬、2辆汽车装载柚子可共装载33吨，若用2辆汽车装载柠檬、3辆汽车装载柚子可共装载32吨．

（1）求每辆汽车可装载柠檬或柚子各多少吨？

（2）据调查，全部销售完后，每吨柠檬可获利700元、每吨柚子可获利500元，计划用20辆汽车运输，且柚子不少于30吨，如何安排运输才能使公司获利最大，最大利润是多少元？

如图，一次函数 $y_{1} = kx + b (k \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x} (m \neq 0, x < 0)$ 的图象交于点 $A (- 3, 1)$ 和点 $C$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ， $ΔAOB$ 的面积是6．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）当 $x < 0$ 时，比较 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小．