如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB110°，∠BOCa-优题课

如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．

（1）求证：△COD是等边三角形；
（2）当a=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？

科目数学题型解答题难度中等

知识点：对称式和轮换对称式

如图，直角坐标系 $xOy$ 中，一次函数 $y = - \frac{1}{2} x + 5$ 的图象 $l_{1}$ 分别与 $x$ ， $y$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，正比例函数的图象 $l_{2}$ 与 $l_{1}$ 交于点 $C (m, 4)$ ．

（1）求 $m$ 的值及 $l_{2}$ 的解析式；

（2）求 $S_{ΔAOC} - S_{ΔBOC}$ 的值；

（3）一次函数 $y = kx + 1$ 的图象为 $l_{3}$ ，且 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 不能围成三角形，直接写出 $k$ 的值．

如图， $∠ A = ∠ B = 50 °$ ， $P$ 为 $AB$ 中点，点 $M$ 为射线 $AC$ 上（不与点 $A$ 重合）的任意一点，连接 $MP$ ，并使 $MP$ 的延长线交射线 $BD$ 于点 $N$ ，设 $∠ BPN = α$ ．

（1）求证： $ΔAPM ≅ ΔBPN$ ；

（2）当 $MN = 2 BN$ 时，求 $α$ 的度数；

（3）若 $ΔBPN$ 的外心在该三角形的内部，直接写出 $α$ 的取值范围．

如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着 $- 5$ ， $- 2$ ，1，9，且任意相邻四个台阶上数的和都相等．

尝试（1）求前4个台阶上数的和是多少？

（2）求第5个台阶上的数 $x$ 是多少？

应用求从下到上前31个台阶上数的和．

发现试用含 $k (k$ 为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数．

老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图（图 $1)$ 和不完整的扇形图（图 $2)$ ，其中条形图被墨迹遮盖了一部分．

（1）求条形图中被遮盖的数，并写出册数的中位数；

（2）在所抽查的学生中随机选一人谈读书感想，求选中读书超过5册的学生的概率；

（3）随后又补查了另外几人，得知最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没改变，则最多补查了　　人．

嘉淇准备完成题目：发现系数“”印刷不清楚．

（1）他把“”猜成3，请你化简： $(3 x^{2} + 6 x + 8) - (6 x + 5 x^{2} + 2)$ ；

（2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“”是几？