解方程组．-优题课

为庆祝中国共产党成立100周年，在中小学生心中厚植爱党情怀，我市开展“童心向党”教育实践活动，某校准备组织学生参加唱歌，舞蹈，书法，国学诵读活动,为了解学生的参与情况，该校随机抽取了部分学生进行“你愿意参加哪一项活动”（必选且只选一种）的问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：

（1）这次抽样调查的总人数为　　人，扇形统计图中“舞蹈”对应的圆心角度数为　　；

（2）若该校有1400名学生，估计选择参加书法的有多少人？

（3）学校准备从推荐的4位同学（两男两女）中选取2人主持活动，根据画树状图或表格法求恰为一男一女的概率．

化简求值： $(1 - \frac{3 a - 10}{a - 2}) \div (\frac{a - 4}{a^{2} - 4 a + 4})$ ，其中 $a$ 与2，3构成三角形的三边，且 $a$ 为整数．

计算： $- 1^{2} + {(π - 2021)}^{0} + 2 \sin 60 ° - | 1 - \sqrt{3} |$ ．

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，抛物线 $y = a {(x - h)}^{2} + k$ 与 $x$ 轴相交于 $O$ ， $A$ 两点，顶点 $P$ 的坐标为 $(2, - 1)$ ．点 $B$ 为抛物线上一动点，连接 $AP$ ， $AB$ ，过点 $B$ 的直线与抛物线交于另一点 $C$ ．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点 $B$ 的横坐标与纵坐标相等， $∠ ABC = ∠ OAP$ ，且点 $C$ 位于 $x$ 轴上方，求点 $C$ 的坐标；

（3）若点 $B$ 的横坐标为 $t$ ， $∠ ABC = 90 °$ ，请用含 $t$ 的代数式表示点 $C$ 的横坐标，并求出当 $t < 0$ 时，点 $C$ 的横坐标的取值范围．

在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $AB = 5$ ， $BC = 3$ ，将 $ΔABC$ 绕点 $B$ 顺时针旋转得到△ $A' BC'$ ，其中点 $A$ ， $C$ 的对应点分别为点 $A'$ ， $C'$ ．

（1）如图1，当点 $A'$ 落在 $AC$ 的延长线上时，求 $AA'$ 的长；

（2）如图2，当点 $C'$ 落在 $AB$ 的延长线上时，连接 $CC'$ ，交 $A' B$ 于点 $M$ ，求 $BM$ 的长；

（3）如图3，连接 $AA'$ ， $CC'$ ，直线 $CC'$ 交 $AA'$ 于点 $D$ ，点 $E$ 为 $AC$ 的中点，连接 $DE$ ．在旋转过程中， $DE$ 是否存在最小值？若存在，求出 $DE$ 的最小值；若不存在，请说明理由．