规定一种运算：，例如，请你按照这种运算的规定，计算和的值．-优题课

已知：如图，点 $B$ ， $D$ 在线段 $AE$ 上， $AD = BE$ ， $AC / / EF$ ， $∠ C = ∠ F$ ．求证： $BC = DF$ ．

综合与探究

如图，抛物线 $y = \frac{1}{3} x^{2} - \frac{1}{3} x - 4$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $AC$ ， $BC$ ．点 $P$ 是第四象限内抛物线上的一个动点，点 $P$ 的横坐标为 $m$ ，过点 $P$ 作 $PM ⊥ x$ 轴，垂足为点 $M$ ， $PM$ 交 $BC$ 于点 $Q$ ，过点 $P$ 作 $PE / / AC$ 交 $x$ 轴于点 $E$ ，交 $BC$ 于点 $F$ ．

（1）求 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点的坐标；

（2）试探究在点 $P$ 运动的过程中，是否存在这样的点 $Q$ ，使得以 $A$ ， $C$ ， $Q$ 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）请用含 $m$ 的代数式表示线段 $QF$ 的长，并求出 $m$ 为何值时 $QF$ 有最大值．

综合与实践

问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在矩形 $ABCD$ 中， $AD = 2 AB$ ， $E$ 是 $AB$ 延长线上一点，且 $BE = AB$ ，连接 $DE$ ，交 $BC$ 于点 $M$ ，以 $DE$ 为一边在 $DE$ 的左下方作正方形 $DEFG$ ，连接 $AM$ ．试判断线段 $AM$ 与 $DE$ 的位置关系．

探究展示：勤奋小组发现， $AM$ 垂直平分 $DE$ ，并展示了如下的证明方法：

证明： $∵ BE = AB$ ， $∴ AE = 2 AB$ ．

$∵ AD = 2 AB$ ， $∴ AD = AE$ ．

$∵$ 四边形 $ABCD$ 是矩形， $∴ AD / / BC$ ．

$∴ \frac{EM}{DM} = \frac{EB}{AB}$ ．（依据 $1)$

$∵ BE = AB$ ， $∴ \frac{EM}{DM} = 1$ ． $∴ EM = DM$ ．

即 $AM$ 是 $ΔADE$ 的 $DE$ 边上的中线，

又 $∵ AD = AE$ ， $∴ AM ⊥ DE$ ．（依据 $2)$

$∴ AM$ 垂直平分 $DE$ ．

反思交流：

（1）①上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？

②试判断图1中的点 $A$ 是否在线段 $GF$ 的垂直平分线上，请直接回答，不必证明；

（2）创新小组受到勤奋小组的启发，继续进行探究，如图2，连接 $CE$ ，以 $CE$ 为一边在 $CE$ 的左下方作正方形 $CEFG$ ，发现点 $G$ 在线段 $BC$ 的垂直平分线上，请你给出证明；

探索发现：

（3）如图3，连接 $CE$ ，以 $CE$ 为一边在 $CE$ 的右上方作正方形 $CEFG$ ，可以发现点 $C$ ，点 $B$ 都在线段 $AE$ 的垂直平分线上，除此之外，请观察矩形 $ABCD$ 和正方形 $CEFG$ 的顶点与边，你还能发现哪个顶点在哪条边的垂直平分线上，请写出一个你发现的结论，并加以证明．

请阅读下列材料，并完成相应的任务：

在数学中，利用图形在变化过程中的不变性质，常常可以找到解决问题的办法．著名美籍匈牙利数学家波利亚在他所著的《数学的发现》一书中有这样一个例子：请问如何在一个三角形 $ABC$ 的 $AC$ 和 $BC$ 两边上分别取一点 $X$ 和 $Y$ ，使得 $AX = BY = XY$ ．（如图）解决这个问题的操作步骤如下：

第一步，在 $CA$ 上作出一点 $D$ ，使得 $CD = CB$ ，连接 $BD$ ．第二步，在 $CB$ 上取一点 $Y^{'}$ ，作 $Y^{'} Z^{'} / / CA$ ，交 $BD$ 于点 $Z^{'}$ ，并在 $AB$ 上取一点 $A^{'}$ ，使 $Z^{'} A^{'} = Y^{'} Z^{'}$ ．第三步，过点 $A$ 作 $AZ / / A^{'} Z^{'}$ ，交 $BD$ 于点 $Z$ ．第四步，过点 $Z$ 作 $ZY / / AC$ ，交 $BC$ 于点 $Y$ ，再过点 $Y$ 作 $YX / / ZA$ ，交 $AC$ 于点 $X$ ．

则有 $AX = BY = XY$ ．

下面是该结论的部分证明：

证明： $∵ AZ / / A^{'} Z^{'}$ ， $∴ ∠ B A^{'} Z^{'} = ∠ BAZ$ ，

又 $∵ ∠ A^{'} B Z^{'} = ∠ ABZ$ ． $∴$ △ $B A^{'} Z^{'} ~ ΔBAZ$ ．

$∴ \frac{Z^{'} A^{'}}{ZA} = \frac{B Z^{'}}{BZ}$ ．

同理可得 $\frac{Y^{'} Z^{'}}{YZ} = \frac{B Z^{'}}{BZ}$ ． $∴ \frac{Z^{'} A^{'}}{ZA} = \frac{Y^{'} Z^{'}}{YZ}$ ．

$∵ Z^{'} A^{'} = Y^{'} Z^{'}$ ， $∴ ZA = YZ$ ．

任务：（1）请根据上面的操作步骤及部分证明过程，判断四边形 $AXYZ$ 的形状，并加以证明；

（2）请再仔细阅读上面的操作步骤，在（1）的基础上完成 $AX = BY = XY$ 的证明过程；

（3）上述解决问题的过程中，通过作平行线把四边形 $B A^{'} Z^{'} Y^{'}$ 放大得到四边形 $BAZY$ ，从而确定了点 $Z$ ， $Y$ 的位置，这里运用了下面一种图形的变化是　　．

$A$ ．平移 $B$ ．旋转 $C$ ．轴对称 $D$ ．位似

2018年1月20日，山西迎来了“复兴号”列车，与“和谐号”相比，“复兴号”列车时速更快，安全性更好．已知“太原南 $-$ 北京西”全程大约500千米，“复兴号” $G 92$ 次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米，其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的 $\frac{4}{5}$ （两列车中途停留时间均除外）．经查询，“复兴号” $G 92$ 次列车从太原南到北京西，中途只有石家庄一站，停留10分钟．求乘坐“复兴号” $G 92$ 次列车从太原南到北京西需要多长时间．