请你依据下面图框中的寻宝游戏规则，探究寻宝游戏的奥秘：（1）-优题课

观察以下等式：

第1个等式： $\frac{1}{1} + \frac{0}{2} + \frac{1}{1} \times \frac{0}{2} = 1$ ，

第2个等式： $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = 1$ ，

第3个等式： $\frac{1}{3} + \frac{2}{4} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{4} = 1$ ，

第4个等式： $\frac{1}{4} + \frac{3}{5} + \frac{1}{4} \times \frac{3}{5} = 1$ ，

第5个等式： $\frac{1}{5} + \frac{4}{6} + \frac{1}{5} \times \frac{4}{6} = 1$ ，

$\dots \dots$

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第6个等式：　 $\frac{1}{6} + \frac{5}{7} + \frac{1}{6} \times \frac{5}{7} = 1$ 　；

（2）写出你猜想的第 $n$ 个等式：　　（用含 $n$ 的等式表示），并证明．

如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的 $10 \times 10$ 网格中，已知点 $O$ ， $A$ ， $B$ 均为网格线的交点．

（1）在给定的网格中，以点 $O$ 为位似中心，将线段 $AB$ 放大为原来的2倍，得到线段 $A_{1} B_{1}$ （点 $A$ ， $B$ 的对应点分别为 $A_{1}$ ， $B_{1})$ ，画出线段 $A_{1} B_{1}$ ；

（2）将线段 $A_{1} B_{1}$ 绕点 $B_{1}$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到线段 $A_{2} B_{1}$ ，画出线段 $A_{2} B_{1}$ ；

（3）以 $A$ ， $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $A_{2}$ 为顶点的四边形 $A A_{1} B_{1} A_{2}$ 的面积是　　个平方单位．

《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问：城中家几何？

大意：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？

已知正方形 $ABCD$ ，点 $M$ 为边 $AB$ 的中点．

（1）如图1，点 $G$ 为线段 $CM$ 上的一点，且 $∠ AGB = 90 °$ ，延长 $AG$ 、 $BG$ 分别与边 $BC$ 、 $CD$ 交于点 $E$ 、 $F$ ．

①求证： $BE = CF$ ；

②求证： $B E^{2} = BC \cdot CE$ ．

（2）如图2，在边 $BC$ 上取一点 $E$ ，满足 $B E^{2} = BC \cdot CE$ ，连接 $AE$ 交 $CM$ 于点 $G$ ，连接 $BG$ 并延长交 $CD$ 于点 $F$ ，求 $\tan ∠ CBF$ 的值．

某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查，每天的销售量 $y$ （千克）与每千克售价 $x$ （元 $)$ 满足一次函数关系，部分数据如下表：

售价 $x$ （元 $/$ 千克）	50	60	70
销售量 $y$ （千克）	100	80	60

（1）求 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式；

（2）设商品每天的总利润为 $W$ （元 $)$ ，求 $W$ 与 $x$ 之间的函数表达式（利润 $=$ 收入 $-$ 成本）；

（3）试说明（2）中总利润 $W$ 随售价 $x$ 的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？