某校为了鼓励在数学竞赛中获奖的学生，准备买若干本课外读物送给他们，如果每人送3本，则还剩8本；如果每人送5本，则最后一人得到的课外读物不足3本，求该校的获奖人数及所买的课外读物的本数？
（本小题满分12分）
某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．
(Ⅰ)如果增加x台机器，每天的生产总量为
件，请你写出与
之间的关系式；
(Ⅱ)增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？
（本小题满分12分）
已知函数
，
(Ⅰ)画出函数
图像；
(Ⅱ)求
的值；
（Ⅲ）当
时，求取值的集合.
（本小题满分12分）
已知函数
(Ⅰ) 判断函数f(x)的奇偶性并证明。
(Ⅱ) 利用单调性定义证明函数f(x)在
上的单调性，并求其最值。
. （本小题满分10分）
设
，
，求：
(Ⅰ)
；
(Ⅱ)
已知函数
（1）若函数
图象在（0，0）处的切线也恰为
图象的一条切线，求实数a的值；
（2）是否存在实数a，对任意的
，都有唯一的
，使得
成立，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由。