先化简，再求值．，其中m3．-优题课

如图，在平面直角坐标系中，点 $O$ 为坐标原点，直线 $l$ 与抛物线 $y = m x^{2} + nx$ 相交于 $A (1$ ， $3 \sqrt{3})$ ， $B (4, 0)$ 两点．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）在坐标轴上是否存在点 $D$ ，使得 $ΔABD$ 是以线段 $AB$ 为斜边的直角三角形？若存在，求出点 $D$ 的坐标；若不存在，说明理由；

（3）点 $P$ 是线段 $AB$ 上一动点，（点 $P$ 不与点 $A$ 、 $B$ 重合），过点 $P$ 作 $PM / / OA$ ，交第一象限内的抛物线于点 $M$ ，过点 $M$ 作 $MC ⊥ x$ 轴于点 $C$ ，交 $AB$ 于点 $N$ ，若 $ΔBCN$ 、 $ΔPMN$ 的面积 $S_{ΔBCN}$ 、 $S_{ΔPMN}$ 满足 $S_{ΔBCN} = 2 S_{ΔPMN}$ ，求出 $\frac{MN}{NC}$ 的值，并求出此时点 $M$ 的坐标．

如图， $ΔABC$ 内接于 $⊙ O$ ， $BD$ 为 $⊙ O$ 的直径， $BD$ 与 $AC$ 相交于点 $H$ ， $AC$ 的延长线与过点 $B$ 的直线相交于点 $E$ ，且 $∠ A = ∠ EBC$ ．

（1）求证： $BE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）已知 $CG / / EB$ ，且 $CG$ 与 $BD$ 、 $BA$ 分别相交于点 $F$ 、 $G$ ，若 $BG \cdot BA = 48$ ， $FG = \sqrt{2}$ ， $DF = 2 BF$ ，求 $AH$ 的值．

如图，一次函数 $y = kx + b (k < 0)$ 与反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 的图象相交于 $A$ 、 $B$ 两点，一次函数的图象与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，已知点 $A (4, 1)$

（1）求反比例函数的解析式；

（2）连接 $OB (O$ 是坐标原点），若 $ΔBOC$ 的面积为3，求该一次函数的解析式．

如图，为了测量出楼房 $AC$ 的高度，从距离楼底 $C$ 处 $60 \sqrt{3}$ 米的点 $D$ （点 $D$ 与楼底 $C$ 在同一水平面上）出发，沿斜面坡度为 $i = 1 : \sqrt{3}$ 的斜坡 $DB$ 前进30米到达点 $B$ ，在点 $B$ 处测得楼顶 $A$ 的仰角为 $53 °$ ，求楼房 $AC$ 的高度（参考数据： $\sin 53 ° \approx 0.8$ ， $\cos 53 ° \approx 0.6$ ， $\tan 53 ° \approx \frac{4}{3}$ ，计算结果用根号表示，不取近似值）．

某商店购买60件 $A$ 商品和30件 $B$ 商品共用了1080元，购买50件 $A$ 商品和20件 $B$ 商品共用了880元．

（1） $A$ 、 $B$ 两种商品的单价分别是多少元？

（2）已知该商店购买 $B$ 商品的件数比购买 $A$ 商品的件数的2倍少4件，如果需要购买 $A$ 、 $B$ 两种商品的总件数不少于32件，且该商店购买的 $A$ 、 $B$ 两种商品的总费用不超过296元，那么该商店有哪几种购买方案？