（本题6分）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其-优题课

如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河面宽度，小明在南岸 $B$ 处测得对岸 $A$ 处一棵柳树位于北偏东 $60 °$ 方向，他以每秒1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到达 $C$ 处，此时测得柳树位于北偏东 $30 °$ 方向，试计算此段河面的宽度．

已知：如图，在 $▱ ABCD$ 中， $AE ⊥ BC$ ， $CF ⊥ AD$ ， $E$ ， $F$ 分别为垂足．

（1）求证： $ΔABE ≅ ΔCDF$ ；

（2）求证：四边形 $AECF$ 是矩形．

解二元一次方组： $\{\begin{matrix} x + 3 y = 7, \\ x - 3 y = 1 \cdot \end{matrix}$

计算： ${(π - 2019)}^{0} + 4 \sin 60 ° - \sqrt{12} + | - 3 |$

如图，在等边 $ΔABC$ 中， $AB = 6 cm$ ，动点 $P$ 从点 $A$ 出发以 $1 cm / s$ 的速度沿 $AB$ 匀速运动．动点 $Q$ 同时从点 $C$ 出发以同样的速度沿 $BC$ 的延长线方向匀速运动，当点 $P$ 到达点 $B$ 时，点 $P$ 、 $Q$ 同时停止运动．设运动时间为 $t (s)$ ．过点 $P$ 作 $PE ⊥ AC$ 于 $E$ ，连接 $PQ$ 交 $AC$ 边于 $D$ ．以 $CQ$ 、 $CE$ 为边作平行四边形 $CQFE$ ．

（1）当 $t$ 为何值时， $ΔBPQ$ 为直角三角形；

（2）是否存在某一时刻 $t$ ，使点 $F$ 在 $∠ ABC$ 的平分线上？若存在，求出 $t$ 的值，若不存在，请说明理由；

（3）求 $DE$ 的长；

（4）取线段 $BC$ 的中点 $M$ ，连接 $PM$ ，将 $ΔBPM$ 沿直线 $PM$ 翻折，得△ $B' PM$ ，连接 $AB'$ ，当 $t$ 为何值时， $A B^{'}$ 的值最小？并求出最小值．