已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图，且﹥＞．化简：．-优题课

抛物线 $y = - \frac{2}{9} x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1, 0)$ ， $B (5, 0)$ 两点，顶点为 $C$ ，对称轴交 $x$ 轴于点 $D$ ，点 $P$ 为抛物线对称轴 $CD$ 上的一动点（点 $P$ 不与 $C$ ， $D$ 重合）．过点 $C$ 作直线 $PB$ 的垂线交 $PB$ 于点 $E$ ，交 $x$ 轴于点 $F$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当 $ΔPCF$ 的面积为5时，求点 $P$ 的坐标；

（3）当 $ΔPCF$ 为等腰三角形时，请直接写出点 $P$ 的坐标．

在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ BCA = 90 °$ ， $∠ A < ∠ ABC$ ， $D$ 是 $AC$ 边上一点，且 $DA = DB$ ， $O$ 是 $AB$ 的中点， $CE$ 是 $ΔBCD$ 的中线．

（1）如图 $a$ ，连接 $OC$ ，请直接写出 $∠ OCE$ 和 $∠ OAC$ 的数量关系：　；

（2）点 $M$ 是射线 $EC$ 上的一个动点，将射线 $OM$ 绕点 $O$ 逆时针旋转得射线 $ON$ ，使 $∠ MON = ∠ ADB$ ， $ON$ 与射线 $CA$ 交于点 $N$ ．

①如图 $b$ ，猜想并证明线段 $OM$ 和线段 $ON$ 之间的数量关系；

②若 $∠ BAC = 30 °$ ， $BC = m$ ，当 $∠ AON = 15 °$ 时，请直接写出线段 $ME$ 的长度（用含 $m$ 的代数式表示）．

如图，点 $P$ 为正方形 $ABCD$ 的对角线 $AC$ 上的一点，连接 $BP$ 并延长交 $CD$ 于点 $E$ ，交 $AD$ 的延长线于点 $F$ ， $⊙ O$ 是 $ΔDEF$ 的外接圆，连接 $DP$ ．

（1）求证： $DP$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $\tan ∠ PDC = \frac{1}{2}$ ，正方形 $ABCD$ 的边长为4，求 $⊙ O$ 的半径和线段 $OP$ 的长．

某工厂生产一种火爆的网红电子产品，每件产品成本16元、工厂将该产品进行网络批发，批发单价 $y$ （元 $)$ 与一次性批发量 $x$ （件 $) (x$ 为正整数）之间满足如图所示的函数关系．

（1）直接写出 $y$ 与 $x$ 之间所满足的函数关系式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

（2）若一次性批发量不超过60件，当批发量为多少件时，工厂获利最大？最大利润是多少？

小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动，需网购一个拉杆箱，图①，②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图，并获得了如下信息：滑杆 $DE$ ，箱长 $BC$ ，拉杆 $AB$ 的长度都相等，即 $DE = BC = AB$ ， $B$ ， $F$ 在 $AC$ 上， $C$ 在 $DE$ 上，支杆 $DF = 30 cm$ ， $CE : CD = 1 : 3$ ， $∠ DCF = 45 °$ ， $∠ CDF = 30 °$ ，请根据以上信息，解决下列问题．

（1）求 $AC$ 的长度（结果保留根号）；

（2）求拉杆端点 $A$ 到水平滑杆 $ED$ 的距离（结果保留根号）．