化简（x＞1）-优题课

如图，直线 $y = - 2 x + 4$ 交 $y$ 轴于点 $A$ ，交抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 于点 $B (3, - 2)$ ，抛物线经过点 $C (- 1, 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $D$ ，点 $P$ 是抛物线上的动点，作 $PE ⊥ DB$ 交 $DB$ 所在直线于点 $E$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当 $ΔPDE$ 为等腰直角三角形时，求出 $PE$ 的长及 $P$ 点坐标；

（3）在（2）的条件下，连接 $PB$ ，将 $ΔPBE$ 沿直线 $AB$ 翻折，直接写出翻折点后 $E$ 的对称点坐标．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ，点 $O$ 为 $AB$ 中点，点 $P$ 为直线 $BC$ 上的动点（不与点 $B$ 、点 $C$ 重合），连接 $OC$ 、 $OP$ ，将线段 $OP$ 绕点 $P$ 顺时针旋转 $60 °$ ，得到线段 $PQ$ ，连接 $BQ$ ．

（1）如图1，当点 $P$ 在线段 $BC$ 上时，请直接写出线段 $BQ$ 与 $CP$ 的数量关系．

（2）如图2，当点 $P$ 在 $CB$ 延长线上时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；

（3）如图3，当点 $P$ 在 $BC$ 延长线上时，若 $∠ BPO = 15 °$ ， $BP = 4$ ，请求出 $BQ$ 的长

如图，在等腰 $ΔABC$ 中， $AB = BC$ ，以 $BC$ 为直径的 $⊙ O$ 与 $AC$ 相交于点 $D$ ，过点 $D$ 作 $DE ⊥ AB$ 交 $CB$ 延长线于点 $E$ ，垂足为点 $F$ ．

（1）判断 $DE$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $⊙ O$ 的半径 $R = 5$ ， $\tan C = \frac{1}{2}$ ，求 $EF$ 的长．

端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为80元的粽子礼盒的销售情况，请根据小梅提供的信息，解答小慧和小杰提出的问题．（价格取正整数）

如图，在平面直角坐标系中，直线 $l : y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + 4$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于点 $M$ ， $N$ ，高为3的等边三角形 $ABC$ ，边 $BC$ 在 $x$ 轴上，将此三角形沿着 $x$ 轴的正方向平移，在平移过程中，得到△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ，当点 $B_{1}$ 与原点重合时，解答下列问题：

（1）求出点 $A_{1}$ 的坐标，并判断点 $A_{1}$ 是否在直线 $l$ 上；

（2）求出边 $A_{1} C_{1}$ 所在直线的解析式；

（3）在坐标平面内找一点 $P$ ，使得以 $P$ 、 $A_{1}$ 、 $C_{1}$ 、 $M$ 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出 $P$ 点坐标．