如图，△ABC三个顶点坐标分别为A（1，2），B（3，1），-优题课

如图，抛物线 $y = - \frac{\sqrt{3}}{9} x^{2} + \frac{2 \sqrt{3}}{3} x + 3 \sqrt{3}$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $AC$ 、 $BC$ ．点 $P$ 沿 $AC$ 以每秒1个单位长度的速度由点 $A$ 向点 $C$ 运动，同时，点 $Q$ 沿 $BO$ 以每秒2个单位长度的速度由点 $B$ 向点 $O$ 运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动，连接 $PQ$ ．过点 $Q$ 作 $QD ⊥ x$ 轴，与抛物线交于点 $D$ ，与 $BC$ 交于点 $E$ ，连接 $PD$ ，与 $BC$ 交于点 $F$ ．设点 $P$ 的运动时间为 $t$ 秒 $(t > 0)$ ．

（1）求直线 $BC$ 的函数表达式；

（2）①直接写出 $P$ ， $D$ 两点的坐标（用含 $t$ 的代数式表示，结果需化简）

②在点 $P$ 、 $Q$ 运动的过程中，当 $PQ = PD$ 时，求 $t$ 的值；

（3）试探究在点 $P$ ， $Q$ 运动的过程中，是否存在某一时刻，使得点 $F$ 为 $PD$ 的中点？若存在，请直接写出此时 $t$ 的值与点 $F$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

综合与实践

背景阅读早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”．它被记载于我国古代著名数学著作《周髀算经》中，为了方便，在本题中，我们把三边的比为 $3 : 4 : 5$ 的三角形称为 $(3$ ，4， $5)$ 型三角形，例如：三边长分别为9，12，15或 $3 \sqrt{2}$ ， $4 \sqrt{2}$ ， $5 \sqrt{2}$ 的三角形就是 $(3$ ，4， $5)$ 型三角形，用矩形纸片按下面的操作方法可以折出这种类型的三角形．

实践操作如图1，在矩形纸片 $ABCD$ 中， $AD = 8 cm$ ， $AB = 12 cm$ ．

第一步：如图2，将图1中的矩形纸片 $ABCD$ 沿过点 $A$ 的直线折叠，使点 $D$ 落在 $AB$ 上的点 $E$ 处，折痕为 $AF$ ，再沿 $EF$ 折叠，然后把纸片展平．

第二步：如图3，将图2中的矩形纸片再次折叠，使点 $D$ 与点 $F$ 重合，折痕为 $GH$ ，然后展平，隐去 $AF$ ．

第三步：如图4，将图3中的矩形纸片沿 $AH$ 折叠，得到△ $AD' H$ ，再沿 $AD'$ 折叠，折痕为 $AM$ ， $AM$ 与折痕 $EF$ 交于点 $N$ ，然后展平．

问题解决

（1）请在图2中证明四边形 $AEFD$ 是正方形．

（2）请在图4中判断 $NF$ 与 $ND'$ 的数量关系，并加以证明；

（3）请在图4中证明 $ΔAEN (3$ ，4， $5)$ 型三角形；

探索发现

（4）在不添加字母的情况下，图4中还有哪些三角形是 $(3$ ，4， $5)$ 型三角形？请找出并直接写出它们的名称．

如图， $ΔABC$ 内接于 $⊙ O$ ，且 $AB$ 为 $⊙ O$ 的直径， $OD ⊥ AB$ ，与 $AC$ 交于点 $E$ ，与过点 $C$ 的 $⊙ O$ 的切线交于点 $D$ ．

（1）若 $AC = 4$ ， $BC = 2$ ，求 $OE$ 的长．

（2）试判断 $∠ A$ 与 $∠ CDE$ 的数量关系，并说明理由．

从共享单车，共享汽车等共享出行到共享充电宝，共享雨伞等共享物品，各式各样的共享经济模式在各个领域迅速普及应用，越来越多的企业与个人成为参与者与受益者．根据国家信息中心发布的《中国分享经济发展报告2017》显示，2016年我国共享经济市场交易额约为34520亿元，比上年增长 $103 %$ ；超6亿人参与共享经济活动，比上年增加约1亿人．

如图是源于该报告中的中国共享经济重点领域市场规模统计图：

（1）请根据统计图解答下列问题：

①图中涉及的七个重点领域中，2016年交易额的中位数是　2038　亿元．

②请分别计算图中的“知识技能”和“资金”两个重点领域从2015年到2016年交易额的增长率（精确到 $1 %)$ ，并就这两个重点领域中的一个分别从交易额和增长率两个方面，谈谈你的认识．

（2）小宇和小强分别对共享经济中的“共享出行”和“共享知识”最感兴趣，他们上网查阅了相关资料，顺便收集到四个共享经济领域的图标，并将其制成编号为 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 的四张卡片（除编号和内容外，其余完全相同）他们将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率（这四张卡片分别用它们的编号 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 表示）

如图，在平面直角坐标系中，正方形 $OABC$ 的顶点 $O$ 与坐标原点重合，其边长为2，点 $A$ ，点 $C$ 分别在 $x$ 轴， $y$ 轴的正半轴上，函数 $y = 2 x$ 的图象与 $CB$ 交于点 $D$ ，函数 $y = \frac{k}{x} (k$ 为常数， $k \neq 0)$ 的图象经过点 $D$ ，与 $AB$ 交于点 $E$ ，与函数 $y = 2 x$ 的图象在第三象限内交于点 $F$ ，连接 $AF$ 、 $EF$ ．

（1）求函数 $y = \frac{k}{x}$ 的表达式，并直接写出 $E$ 、 $F$ 两点的坐标；

（2）求 $ΔAEF$ 的面积．