如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，∠CDA∠C-优题课

如图， $⊙ O$ 是 $△ A B C$ 的外接圆， $A B$ 是直径， $O D ⊥ O C$ ，连接 $A D$ ， $∠ A D O ＝ ∠ B O C$ ， $A C$ 与 $O D$ 相交于点 $E$ ．

（1）求证： $A D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $t a n ∠ O A C = \frac{1}{2}$ ， $A D = \frac{3}{2}$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

如图，点A在反比例函数 $y = \frac{k}{x} （ x ＞ 0 ）$ 的图象上， $A B ⊥ x$ 轴，垂足为 $B （ 3 ， 0 ）$ ，过 $C （ 5 ， 0 ）$ 作 $C D ⊥ x$ 轴，交过 $B$ 点的一次函数 $y = \frac{3}{2} x + b$ 的图象于D点，交反比例函数的图象于 $E$ 点， $S_{△ A O B} ＝ 3$ ．

（1）求反比例函数 $y = \frac{k}{x} （ x ＞ 0 ）$ 和一次函数 $y = \frac{3}{2} x + b$ 的表达式；

（2）求 $D E$ 的长．

掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度 $y （ m ）$ 与水平距离 $x （ m ）$ 之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为 $\frac{5}{3} m$ ，当水平距离为 $3 m$ 时，实心球行进至最高点 $3 m$ 处．

（1）求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式；

（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于 $6.70 m$ ，此项考试得分为满分 $10$ 分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．

如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B ＝ 90 ° ， A C ＝ 3 c m ， B C ＝ 4 c m$ ， $M$ 为 $A B$ 边上一动点， $B N ⊥ C M$ ，垂足为 $N$ ．设 $A ， M$ 两点间的距离为 $x c m （ 0 \leq x \leq 5 ）$ ， $B ， N$ 两点间的距离为 $y c m$ （当点 $M$ 和 $B$ 点重合时， $B ， N$ 两点间的距离为 $0$ ）．

小明根据学习函数的经验，对因变量 $y$ 随自变量 $x$ 的变化而变化的规律进行了探究．

下面是小明的探究过程，请补充完整．

（1）列表：下表的已知数据是根据 $A ， M$ 两点间的距离 $x$ 进行取点、画图、测量，分别得到了 $y$ 与 $x$ 的几组对应值：

$x / c m$	$0$	$0.5$	$1$	$1.5$	$1.8$	$2$	$2.5$	$3$	$3.5$	$4$	$4.5$	$5$
$y / c m$	$4$	$3.96$	$3.79$	$3.47$	$a$	$2.99$	$2.40$	$1.79$	$1.23$	$0.74$	$0.33$	$0$

请你通过计算，补全表格： $a ＝$ ＿＿＿＿＿；

（2）描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点 $（ x ， y ）$ ，并画出函数 $y$ 关于 $x$ 的图象；

（3）探究性质：随着自变量 $x$ 的不断增大，函数 $y$ 的变化趋势：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；

（4）解决问题：当 $B N ＝ 2 A M$ 时， $A M$ 的长度大约是＿＿＿＿＿ $c m$ ．（结果保留两位小数）

综合与实践

问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一些几何作图方法，如侯马铸铜遗址出土车軎（wèi）范、芯组成的铸型（如图1），它的端面是圆形．如图2是用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端A沿圆周移动，直到 $A B ＝ A C$ ，在圆上标记 $A ， B ， C$ 三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在 $A ， B$ 点上，“矩”的另一条边与的交点标记为 $D$ 点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的 $A ， B ， C ， D$ 四点，连接 $A D ， B C$ 相交于点 $O$ ，即 $O$ 为圆心．

问题解决：（1）请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确定圆心 $O$ ．如图3，点 $A ， B ， C$ 在 $⊙ O$ 上， $A B ⊥ A C$ ，且 $A B ＝ A C$ ，请作出圆心 $O$ ．（保留作图痕迹，不写作法）

类比迁移：（2）小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果 $A B$ 和 $A C$ 不相等，用三角板也可以确定圆心 $O$ ．如图4，点 $A ， B ， C$ 在 $⊙ O$ 上， $A B ⊥ A C$ ，请作出圆心 $O$ ．（保留作图痕迹，不写作法）

拓展探究：（3）小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点 $A ， B ， C$ 是 $⊙ O$ 上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心 $O$ ．（保留作图痕迹，不写作法）请写出你确定圆心的理由：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．