如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC45°，AD是⊙O的切-优题课

综合与实践

折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．

在折纸过程中，我们可以通过研究图形的性质和运动、确定图形位置等，进一步发展空间观念，在经历借助图形思考问题的过程中，我们会初步建立几何直观，折纸往往从矩形纸片开始，今天，就让我们带着数学的眼光来玩一玩折纸，看看折叠矩形的对角线之后能得到哪些数学结论．

实践操作

如图1，将矩形纸片 $ABCD$ 沿对角线 $AC$ 翻折，使点 $B'$ 落在矩形 $ABCD$ 所在平面内， $B^{'} C$ 和 $AD$ 相交于点 $E$ ，连接 $B' D$ ．

解决问题

（1）在图1中，

① $B' D$ 和 $AC$ 的位置关系为　　；

②将 $ΔAEC$ 剪下后展开，得到的图形是　　；

（2）若图1中的矩形变为平行四边形时 $(AB \neq BC)$ ，如图2所示，结论①和结论②是否成立，若成立，请挑选其中的一个结论加以证明，若不成立，请说明理由；

（3）小红沿对角线折叠一张矩形纸片，发现所得图形是轴对称图形，沿对称轴再次折叠后，得到的仍是轴对称图形，则小红折叠的矩形纸片的长宽之比为　　；

拓展应用

（4）在图2中，若 $∠ B = 30 °$ ， $AB = 4 \sqrt{3}$ ，当△ $AB' D$ 恰好为直角三角形时， $BC$ 的长度为　　．

某班级同学从学校出发去扎龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的几人 $20 \min$ 后乘坐小轿车沿同一路线出行．大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大客车以出发时速度的 $\frac{10}{7}$ 继续行驶，小轿车保持原速度不变．小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在驶过景点入口 $6 km$ 时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口．两车距学校的路程 $S$ （单位： $km)$ 和行驶时间 $t$ （单位： $\min)$ 之间的函数关系如图所示．

请结合图象解决下面问题：

（1）学校到景点的路程为　　 $km$ ，大客车途中停留了　　 $\min$ ， $a =$ 　　；

（2）在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？

（3）小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速 $80 km / h$ ，请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速？

（4）若大客车一直以出发时的速度行驶，中途不再停车，那么小轿车折返后到达景点入口，需等待　　分钟，大客车才能到达景点入口．

初三上学期期末考试后，数学老师把一班的数学成绩制成如图所示不完整的统计图（满分120分，每组含最低分，不含最高分），并给出如下信息：①第二组频率是0.12；②第二、三组的频率和是0.48；③自左至右第三，四，五组的频数比为 $9 : 8 : 3$ ；

请你结合统计图解答下列问题：

（1）全班学生共有　　人；

（2）补全统计图；

（3）如果成绩不少于90分为优秀，那么全年级700人中成绩达到优秀的大约多少人？

（4）若不少于100分的学生可以获得学校颁发的奖状，且每班选派两名代表在学校新学期开学式中领奖，则该班得到108分的小强同学能被选中领奖的概率是多少？

如图，以 $ΔABC$ 的边 $AB$ 为直径画 $⊙ O$ ，交 $AC$ 于点 $D$ ，半径 $OE / / BD$ ，连接 $BE$ ， $DE$ ， $BD$ ，设 $BE$ 交 $AC$ 于点 $F$ ，若 $∠ DEB = ∠ DBC$ ．

（1）求证： $BC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $BF = BC = 2$ ，求图中阴影部分的面积．

如图，抛物线 $y = x^{2} + bx + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ 、 $B$ 两点， $B$ 点坐标为 $(4, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C (0, 4)$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点 $P$ 在 $x$ 轴下方的抛物线上，过点 $P$ 的直线 $y = x + m$ 与直线 $BC$ 交于点 $E$ ，与 $y$ 轴交于点 $F$ ，求 $PE + EF$ 的最大值；

（3）点 $D$ 为抛物线对称轴上一点．

①当 $ΔBCD$ 是以 $BC$ 为直角边的直角三角形时，直接写出点 $D$ 的坐标；

②若 $ΔBCD$ 是锐角三角形，直接写出点 $D$ 的纵坐标 $n$ 的取值范围．