解方程：（1）（2）-优题课

周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点 $A$ ，在他们所在的岸边选择了点 $B$ ，使得 $AB$ 与河岸垂直，并在 $B$ 点竖起标杆 $BC$ ，再在 $AB$ 的延长线上选择点 $D$ ，竖起标杆 $DE$ ，使得点 $E$ 与点 $C$ 、 $A$ 共线．

已知： $CB ⊥ AD$ ， $ED ⊥ AD$ ，测得 $BC = 1 m$ ， $DE = 1.5 m$ ， $BD = 8.5 m$ ．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽 $AB$ ．

对垃圾进行分类投放，能有效提高对垃圾的处理和再利用，减少污染，保护环境．为了了解同学们对垃圾分类知识的了解程度，增强同学们的环保意识，普及垃圾分类及投放的相关知识，某校数学兴趣小组的同学们设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取若干名同学进行了问卷测试．根据测试成绩分布情况，他们将全部测试成绩分成 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 四组，绘制了如下统计图表：

“垃圾分类知识及投放情况”问卷测试成绩统计表

组别	分数 $/$ 分	频数	各组总分 $/$ 分
$A$	$60 < x ⩽ 70$	38	2581
$B$	$70 < x ⩽ 80$	72	5543
$C$	$80 < x ⩽ 90$	60	5100
$D$	$90 < x ⩽ 100$	$m$	2796

依据以上统计信息解答下列问题：

（1）求得 $m =$ 　　， $n =$ 　　；

（2）这次测试成绩的中位数落在　　组；

（3）求本次全部测试成绩的平均数．

如图， $AB / / CD$ ， $E$ 、 $F$ 分别为 $AB$ 、 $CD$ 上的点，且 $EC / / BF$ ，连接 $AD$ ，分别与 $EC$ 、 $BF$ 相交于点 $G$ ， $H$ ，若 $AB = CD$ ，求证： $AG = DH$ ．

如图，已知：在正方形 $ABCD$ 中， $M$ 是 $BC$ 边上一定点，连接 $AM$ ．请用尺规作图法，在 $AM$ 上作一点 $P$ ，使 $ΔDPA ∽ ΔABM$ ．（不写作法，保留作图痕迹）

问题提出

（1）如图①，在 $ΔABC$ 中， $AB = 4$ ， $∠ A = 135 °$ ，点 $B$ 关于 $AC$ 所在直线的对称点为 $B'$ ，则 $BB'$ 的长度为　　．

问题探究

（2）如图②，半圆 $O$ 的直径 $AB = 10$ ， $C$ 是 $\hat{AB}$ 的中点，点 $D$ 在 $\hat{BC}$ 上，且 $\hat{CD} = 2 \hat{BD}$ ， $P$ 是 $AB$ 上的动点，试求 $PC + PD$ 的最小值．

问题解决

（3）如图③，扇形花坛 $AOB$ 的半径为 $20 m$ ， $∠ AOB = 45 °$ ．根据工程需要．现想在 $\hat{AB}$ 上选点 $P$ ，在边 $OA$ 上选点 $E$ ，在边 $OB$ 上选点 $F$ ，用装饰灯带在花坛内的地面上围成一个 $ΔPEF$ ，使晚上点亮时，花坛中的花卉依然赏心悦目．为了既节省材料，又美观大方，需使得灯带 $PE + EF + FP$ 的长度最短，并且用长度最短的灯带围成的 $ΔPEF$ 为等腰三角形．试求 $PE + EF + FP$ 的值最小时的等腰 $ΔPEF$ 的面积．（安装损耗忽略不计）