如图，设椭圆的左．右焦点分别为，点在椭圆上，，，的面积为．（-优题课

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如图，设椭圆的左．右焦点分别为，点在椭圆上，，，的面积为．

（1）求该椭圆的标准方程；
（2）设圆心在轴上的圆与椭圆在轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．

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设数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{n + 1} - a_{n} = 3 \times 2^{2 n - 1}$

（1）求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；
（2）令 $b_{n} = n a_{n}$ ，求数列的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{2} + a x + b$ 的图像在点 $P (0, f (0))$ 处的切线方程为 $y = 3 x - 2$ .
（Ⅰ）求实数 $a, b$ 的值；
（Ⅱ）设 $y^{2} = 4 x (- 2)^{2} = 2 p x, x = - 1, g (x) = f (x) + \frac{m}{x - 1}$ 是 $[2, + \infty)$ 上的增函数.
（ⅰ）求实数 $m$ 的最大值；
（ⅱ）当 $m$ 取最大值时，是否存在点Q，使得过点Q的直线能与曲线 $y = g (x)$ 围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.

某港口 $O$ 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口的 $O$ 北偏西30°且与该港口相距20海里的 $A$ 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以 $v$ 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 $t$ 小时与轮船相遇.
（I）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（II）为保证小艇在30分钟内（含30分钟）能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；
（III)是否存在 $v$ ，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由.

如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, H$ 分别是棱 $A_{1} B_{1}, D_{1} C_{1}$ 上的点（点 $E$ 与 $B_{1}$ 不重合），且 $E H / / A_{1} D_{1}$ . 过 $E H$ 的平面与棱 $B B_{1}, C C_{1}$ 相交，交点分别为 $F, G$ .

（I）证明： $A D / /$ 平面 $E F G H$ ;

（II）设 $A B = 2 A A_{1} = 2 a$ .在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内随机选取一点.记该点取自几何体 $A_{1} A B F E - D_{1} D C G H$ 内的概率为 $p$ ，当点 $E, F$ 分别在棱 $A_{1} B_{1}$ 上运动且满足 $E F = a$ 时，求 $p$ 的最小值.

已知抛物线 $C$ 的方程 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 过点 $A (1, - 2)$ .
（I）求抛物线 $C$ 的方程，并求其准线方程；
（II）是否存在平行于 $O A$ （O为坐标原点）的直线 $l$ ，使得直线 $l$ 与抛物线 $C$ 有公共点，且直线 $O A$ 与 $l$ 的距离等于 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ？若存在，求出直线 $l$ 的方程；若不存在，说明理由。

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