在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数y14x-优题课

在平面直角坐标系中， $O$ 为坐标原点，直线 $OA$ 交二次函数 $y = \frac{1}{4} x^{2}$ 的图象于点 $A$ ， $∠ AOB = 90 °$ ，点 $B$ 在该二次函数的图象上，设过点 $(0, m)$ （其中 $m > 0)$ 且平行于 $x$ 轴的直线交直线 $OA$ 于点 $M$ ，交直线 $OB$ 于点 $N$ ，以线段 $OM$ 、 $ON$ 为邻边作矩形 $OMPN$ ．

（1）若点 $A$ 的横坐标为8．

①用含 $m$ 的代数式表示 $M$ 的坐标；

②点 $P$ 能否落在该二次函数的图象上？若能，求出 $m$ 的值；若不能，请说明理由．

（2）当 $m = 2$ 时，若点 $P$ 恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线 $OA$ 的函数表达式．

科目数学题型解答题难度较难

知识点：二次函数的性质一次函数的性质待定系数法求二次函数解析式二次函数综合题

一个不透明的口袋中有三个小球，上面分别标有字母 $a$ ， $b$ ， $c$ ，每个小球除字母不同外其余均相同，小园同学从口袋中随机摸出一个小球，记下字母后放回且搅匀，再从可口袋中随机摸出一个小球记下字母．用画树状图（或列表）的方法，求小园同学两次摸出的小球上的字母相同的概率．

如图1，在平面直角坐标系中，点 $B$ 在 $x$ 轴正半轴上， $OB$ 的长度为 $2 m$ ，以 $OB$ 为边向上作等边三角形 $AOB$ ，抛物线 $l : y = a x^{2} + bx + c$ 经过点 $O$ ， $A$ ， $B$ 三点

（1）当 $m = 2$ 时， $a =$ 　　，当 $m = 3$ 时， $a =$ 　　；

（2）根据（1）中的结果，猜想 $a$ 与 $m$ 的关系，并证明你的结论；

（3）如图2，在图1的基础上，作 $x$ 轴的平行线交抛物线 $l$ 于 $P$ 、 $Q$ 两点， $PQ$ 的长度为 $2 n$ ，当 $ΔAPQ$ 为等腰直角三角形时， $a$ 和 $n$ 的关系式为　　；

（4）利用（2）（3）中的结论，求 $ΔAOB$ 与 $ΔAPQ$ 的面积比．

如图，在等腰直角三角形 $ABC$ 中， $∠ BAC = 90 °$ ， $AC = 8 \sqrt{2} cm$ ， $AD ⊥ BC$ 于点 $D$ ，点 $P$ 从点 $A$ 出发，沿 $A \to C$ 方向以 $\sqrt{2} cm / s$ 的速度运动到点 $C$ 停止，在运动过程中，过点 $P$ 作 $PQ / / AB$ 交 $BC$ 于点 $Q$ ，以线段 $PQ$ 为边作等腰直角三角形 $PQM$ ，且 $∠ PQM = 90 °$ （点 $M$ ， $C$ 位于 $PQ$ 异侧）．设点 $P$ 的运动时间为 $x (s)$ ， $ΔPQM$ 与 $ΔADC$ 重叠部分的面积为 $y (c m^{2})$

（1）当点 $M$ 落在 $AB$ 上时， $x =$ 　　；

（2）当点 $M$ 落在 $AD$ 上时， $x =$ 　　；

（3）求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并写出自变量 $x$ 的取值范围．

（1）如图1，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ABC = 90 °$ ，以点 $B$ 为中心，把 $ΔABC$ 逆时针旋转 $90 °$ ，得到△ $A_{1} B C_{1}$ ；再以点 $C$ 为中心，把 $ΔABC$ 顺时针旋转 $90 °$ ，得到△ $A_{2} B_{1} C$ ，连接 $C_{1} B_{1}$ ，则 $C_{1} B_{1}$ 与 $BC$ 的位置关系为　　；

（2）如图2，当 $ΔABC$ 是锐角三角形， $∠ ABC = α (α \neq 60 °)$ 时，将 $ΔABC$ 按照（1）中的方式旋转 $α$ ，连接 $C_{1} B_{1}$ ，探究 $C_{1} B_{1}$ 与 $BC$ 的位置关系，写出你的探究结论，并加以证明；

（3）如图3，在图2的基础上，连接 $B_{1} B$ ，若 $C_{1} B_{1} = \frac{2}{3} BC$ ，△ $C_{1} B B_{1}$ 的面积为4，则△ $B_{1} BC$ 的面积为　　．

甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从 $A$ 地出发前往 $B$ 地，甲出发 $1 h$ 后，乙出发，设甲与 $A$ 地相距 $y_{甲} (km)$ ，乙与 $A$ 地相距 $y_{乙} (km)$ ，甲离开 $A$ 地的时间为 $x (h)$ ， $y_{甲}$ 、 $y_{乙}$ 与 $x$ 之间的函数图象如图所示．

（1）甲的速度是　　 $km / h$ ；

（2）当 $1 ⩽ x ⩽ 5$ 时，求 $y_{乙}$ 关于 $x$ 的函数解析式；

（3）当乙与 $A$ 地相距 $240 km$ 时，甲与 $A$ 地相距　　 $km$ ．