在数学课本上，同学们已经探究过经过已知直线外一点作这条直线的-优题课

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题文

在数学课本上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线“的尺规作图过程：

已知：直线l和l外一点P．

求作：直线l的垂线，使它经过点P．

作法：如图：（1）在直线l上任取两点A、B；

（2）分别以点A、B为圆心，AP，BP长为半径画弧，两弧相交于点Q；

（3）作直线PQ．

参考以上材料作图的方法，解决以下问题：

（1）以上材料作图的依据是：　　

（2）已知，直线l和l外一点P，

求作：⊙P，使它与直线l相切．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）

科目数学题型解答题难度中等

知识点：作图—基本作图切线的判定线段垂直平分线的性质

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如图，已知两直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别经过点 $A (1, 0)$ ，点 $B (- 3, 0)$ ，且两条直线相交于 $y$ 轴的正半轴上的点 $C$ ，当点 $C$ 的坐标为 $(0, \sqrt{3})$ 时，恰好有 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，经过点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的抛物线的对称轴与 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 、 $x$ 轴分别交于点 $G$ 、 $E$ 、 $F$ ， $D$ 为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的函数解析式；

（2）试说明 $DG$ 与 $DE$ 的数量关系？并说明理由；

（3）若直线 $l_{2}$ 绕点 $C$ 旋转时，与抛物线的另一个交点为 $M$ ，当 $ΔMCG$ 为等腰三角形时，请直接写出点 $M$ 的坐标．

如图，一次函数 $y = kx + b$ 与反比例函数 $y = \frac{4}{x} (x > 0)$ 的图象交于 $A (m, 4)$ ， $B (2, n)$ 两点，与坐标轴分别交于 $M$ 、 $N$ 两点．

（1）求一次函数的解析式；

（2）根据图象直接写出 $kx + b - \frac{4}{x} > 0$ 中 $x$ 的取值范围；

（3）求 $ΔAOB$ 的面积．

如图，在矩形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ 的垂直平分线 $EF$ 分别交 $AD$ 、 $AC$ 、 $BC$ 于点 $E$ 、 $O$ 、 $F$ ，连接 $CE$ 和 $AF$ ．

（1）求证：四边形 $AECF$ 为菱形；

（2）若 $AB = 4$ ， $BC = 8$ ，求菱形 $AECF$ 的周长．

如图， $AH$ 是 $⊙ O$ 的直径， $AE$ 平分 $∠ FAH$ ，交 $⊙ O$ 于点 $E$ ，过点 $E$ 的直线 $FG ⊥ AF$ ，垂足为 $F$ ， $B$ 为半径 $OH$ 上一点，点 $E$ 、 $F$ 分别在矩形 $ABCD$ 的边 $BC$ 和 $CD$ 上．

（1）求证：直线 $FG$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $AF = 12$ ， $BE = 6$ ，求 $\frac{FC}{AD}$ 的值．

巴中市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于有关部门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售，若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百分率．

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