如图，顶点为A(3,1)的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点-优题课

如图，顶点为 $A (\sqrt{3}, 1)$ 的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．

（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；

（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证： $△ OCD ≌ △ OAB$ ；

（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．

科目数学题型解答题难度中等

某公司投入研发费用80万元 $(80$ 万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量 $=$ 销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元 $/$ 件．此产品年销售量 $y$ （万件）与售价 $x$ （元 $/$ 件）之间满足函数关系式 $y = - x + 26$ ．

（1）求这种产品第一年的利润 $W_{1}$ （万元）与售价 $x$ （元 $/$ 件）满足的函数关系式；

（2）若该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？

（3）在（2）的条件下，第二年，该公司将第一年的利润20万元 $(20$ 万元只计入第二年成本）再次投入研发，使产品的生产成本降为5元 $/$ 件．为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外受产能限制，销售量无法超过12万件．请计算该公司第二年的利润 $W_{2}$ 至少为多少万元．

已知：如图，平行四边形 $ABCD$ ，对角线 $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $E$ ，点 $G$ 为 $AD$ 的中点，连接 $CG$ ， $CG$ 的延长线交 $BA$ 的延长线于点 $F$ ，连接 $FD$ ．

（1）求证： $AB = AF$ ；

（2）若 $AG = AB$ ， $∠ BCD = 120 °$ ，判断四边形 $ACDF$ 的形状，并证明你的结论．

已知反比例函数的图象经过三个点 $A (- 4, - 3)$ ， $B (2 m, y_{1})$ ， $C (6 m, y_{2})$ ，其中 $m > 0$ ．

（1）当 $y_{1} - y_{2} = 4$ 时，求 $m$ 的值；

（2）如图，过点 $B$ 、 $C$ 分别作 $x$ 轴、 $y$ 轴的垂线，两垂线相交于点 $D$ ，点 $P$ 在 $x$ 轴上，若三角形 $PBD$ 的面积是8，请写出点 $P$ 坐标（不需要写解答过程）．

某区域平面示意图如图，点 $O$ 在河的一侧， $AC$ 和 $BC$ 表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在 $A$ 处测得点 $O$ 位于北偏东 $45 °$ ，乙勘测员在 $B$ 处测得点 $O$ 位于南偏西 $73.7 °$ ，测得 $AC = 840 m$ ， $BC = 500 m$ ．请求出点 $O$ 到 $BC$ 的距离．

参考数据： $\sin 73.7 ° \approx \frac{24}{25}$ ， $\cos 73.7 ° \approx \frac{7}{25}$ ， $\tan 73.7 ° \approx \frac{24}{7}$

八年级（1）班研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况，在全校随机邀请了部分同学参与问卷调查，统计同学们一个月阅读课外书的数量，并绘制了以下统计图．

请根据图中信息解决下列问题：

（1）共有　　名同学参与问卷调查；

（2）补全条形统计图和扇形统计图；

（3）全校共有学生1500人，请估计该校学生一个月阅读2本课外书的人数约为多少．

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