甲、乙两运动员的射击成绩（靶心为10环）统计如下表（不完全）-优题课

在平面直角坐标系 $xOy$ 中， $⊙ O$ 的半径为1．对于点 $A$ 和线段 $BC$ ，给出如下定义：若将线段 $BC$ 绕点 $A$ 旋转可以得到 $⊙ O$ 的弦 $B' C' (B'$ ， $C'$ 分别是 $B$ ， $C$ 的对应点），则称线段 $BC$ 是 $⊙ O$ 的以点 $A$ 为中心的“关联线段”．

（1）如图，点 $A$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ ， $B_{2}$ ， $C_{2}$ ， $B_{3}$ ， $C_{3}$ 的横、纵坐标都是整数．在线段 $B_{1} C_{1}$ ， $B_{2} C_{2}$ ， $B_{3} C_{3}$ 中， $⊙ O$ 的以点 $A$ 为中心的“关联线段”是　 $B_{2} C_{2}$ 　；

（2） $ΔABC$ 是边长为1的等边三角形，点 $A (0, t)$ ，其中 $t \neq 0$ ．若 $BC$ 是 $⊙ O$ 的以点 $A$ 为中心的“关联线段”，求 $t$ 的值；

（3）在 $ΔABC$ 中， $AB = 1$ ， $AC = 2$ ．若 $BC$ 是 $⊙ O$ 的以点 $A$ 为中心的“关联线段”，直接写出 $OA$ 的最小值和最大值，以及相应的 $BC$ 长．

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $∠ BAC = α$ ， $M$ 为 $BC$ 的中点，点 $D$ 在 $MC$ 上，以点 $A$ 为中心，将线段 $AD$ 顺时针旋转 $α$ 得到线段 $AE$ ，连接 $BE$ ， $DE$ ．

（1）比较 $∠ BAE$ 与 $∠ CAD$ 的大小；用等式表示线段 $BE$ ， $BM$ ， $MD$ 之间的数量关系，并证明；

（2）过点 $M$ 作 $AB$ 的垂线，交 $DE$ 于点 $N$ ，用等式表示线段 $NE$ 与 $ND$ 的数量关系，并证明．

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，点 $(1, m)$ 和点 $(3, n)$ 在抛物线 $y = a x^{2} + bx (a > 0)$ 上．

（1）若 $m = 3$ ， $n = 15$ ，求该抛物线的对称轴；

（2）已知点 $(- 1, y_{1})$ ， $(2, y_{2})$ ， $(4, y_{3})$ 在该抛物线上．若 $mn < 0$ ，比较 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小，并说明理由．

为了解甲、乙两座城市的邮政企业4月份收入的情况，从这两座城市的邮政企业中，各随机抽取了25家邮政企业，获得了它们4月份收入（单位：百万元）的数据，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．

$a$ ．甲城市邮政企业4月份收入的数据的频数分布直方图如下（数据分成5组： $6 ⩽ x < 8$ ， $8 ⩽ x < 10$ ， $10 ⩽ x < 12$ ， $12 ⩽ x < 14$ ， $14 ⩽ x ⩽ 16) :$

$b$ ．甲城市邮政企业4月份收入的数据在 $10 ⩽ x < 12$ 这一组的是：

10.0 10.0 10.1 10.9 11.4 11.5 11.6 11.8

$c$ ．甲、乙两座城市邮政企业4月份收入的数据的平均数、中位数如下：

	平均数	中位数
甲城市	10.8	$m$
乙城市	11.0	11.5

根据以上信息，回答下列问题：

（1）写出表中 $m$ 的值；

（2）在甲城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为 $p_{1}$ ．在乙城市抽取的邮政企业中，记4月份收入高于它们的平均收入的邮政企业的个数为 $p_{2}$ ．比较 $p_{1}$ ， $p_{2}$ 的大小，并说明理由；

（3）若乙城市共有200家邮政企业，估计乙城市的邮政企业4月份的总收入（直接写出结果）．

如图， $⊙ O$ 是 $ΔABC$ 的外接圆， $AD$ 是 $⊙ O$ 的直径， $AD ⊥ BC$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $∠ BAD = ∠ CAD$ ；

（2）连接 $BO$ 并延长，交 $AC$ 于点 $F$ ，交 $⊙ O$ 于点 $G$ ，连接 $GC$ ．若 $⊙ O$ 的半径为5， $OE = 3$ ，求 $GC$ 和 $OF$ 的长．