据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情-优题课

据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过 $15 m / s$ ，在一条笔直公路 $BD$ 的上方 $A$ 处有一探测仪，如平面几何图， $AD = 24 m$ ， $∠ D = 90 °$ ，第一次探测到一辆轿车从 $B$ 点匀速向 $D$ 点行驶，测得 $∠ ABD = 31 °$ ，2秒后到达 $C$ 点，测得 $∠ ACD = 50 ° (\tan 31 ° \approx 0.6$ ， $\tan 50 ° \approx 1.2$ ，结果精确到 $1 m)$

（1）求 $B$ ， $C$ 的距离．

（2）通过计算，判断此轿车是否超速．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形的应用

若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2} + bx + c = 0$ 的两个根，则 $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ ， $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$ ．现已知一元二次方程 $p x^{2} + 2 x + q = 0$ 的两根分别为 $m$ ， $n$ ．

（1）若 $m = 2$ ， $n = - 4$ ，求 $p$ ， $q$ 的值；

（2）若 $p = 3$ ， $q = - 1$ ，求 $m + mn + n$ 的值．

先化简，再求值： ${(x + 1)}^{2} + (2 + x) (2 - x)$ ，其中 $x = 1$ ．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中，点 $P$ 为斜边 $BC$ 上一动点，将 $ΔABP$ 沿直线 $AP$ 折叠，使得点 $B$ 的对应点为 $B'$ ，连接 $AB'$ ， $CB'$ ， $BB'$ ， $PB'$ ．

（1）如图①，若 $PB' ⊥ AC$ ，证明： $PB' = AB'$ ．

（2）如图②，若 $AB = AC$ ， $BP = 3 PC$ ，求 $\cos ∠ B' AC$ 的值．

（3）如图③，若 $∠ ACB = 30 °$ ，是否存在点 $P$ ，使得 $AB = CB'$ ．若存在，求此时 $\frac{PC}{BC}$ 的值；若不存在，请说明理由．

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $C : y = a x^{2} + bx + c (a \neq 0)$ 经过点 $(1, 1)$ 和 $(4, 1)$ ．

（1）求抛物线 $C$ 的对称轴．

（2）当 $a = - 1$ 时，将抛物线 $C$ 向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线 $C_{1}$ ．

①求抛物线 $C_{1}$ 的解析式．

②设抛物线 $C_{1}$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的右侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $BC$ ．点 $D$ 为第一象限内抛物线 $C_{1}$ 上一动点，过点 $D$ 作 $DE ⊥ OA$ 于点 $E$ ．设点 $D$ 的横坐标为 $m$ ．是否存在点 $D$ ，使得以点 $O$ ， $D$ ， $E$ 为顶点的三角形与 $ΔBOC$ 相似，若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由．

某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径 $ED$ 与母线 $AD$ 长之比为 $1 : 2$ ．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中 $AB = AC$ ， $AD ⊥ BC$ ．将扇形 $AEF$ 围成圆锥时， $AE$ ， $AF$ 恰好重合．

（1）求这种加工材料的顶角 $∠ BAC$ 的大小．

（2）若圆锥底面圆的直径 $ED$ 为 $5 cm$ ，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留 $π)$

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