如图①，在RtΔABC中，以下是小亮探究asinA与bsin-优题课

如图①，在 $Rt Δ ABC$ 中，以下是小亮探究 $\frac{a}{\sin A}$ 与 $\frac{b}{\sin B}$ 之间关系的方法：

$∵ \sin A = \frac{a}{c}$ ， $\sin B = \frac{b}{c}$

$∴ c = \frac{a}{\sin A}$ ， $c = \frac{b}{\sin B}$

$∴ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角 $ΔABC$ 中，探究 $\frac{a}{\sin A}$ 、 $\frac{b}{\sin B}$ 、 $\frac{c}{\sin C}$ 之间的关系，并写出探究过程．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形

如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $y ＝ a x^{2} + b x ﹣ 3$ 经过点 $B （ 6 ， 0 ）$ 和点 $D （ 4 ， ﹣ 3 ）$ ，与 $x$ 轴的另一个交点为 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，作直线 $A D$ ．

（1）①求抛物线的函数表达式；

②直接写出直线 $A D$ 的函数表达式；

（2）点 $E$ 是直线 $A D$ 下方的抛物线上一点，连接 $B E$ 交 $A D$ 于点 $F$ ，连接 $B D ， D E$ ， $△ B D F$ 的面积记为 $S_{1}$ ， $△ D E F$ 的面积记为 $S_{2}$ ，当 $S_{1} ＝ 2 S_{2}$ 时，求点 $E$ 的坐标；

（3）点 $G$ 为抛物线的顶点，将抛物线图象中 $x$ 轴下方的部分沿 $x$ 轴向上翻折，与抛物线剩下的部分组成新的曲线记为 $C_{1}$ ，点 $C$ 的对应点为 $C'$ ，点 $G$ 的对应点为 $G'$ ，将曲线 $C_{1}$ 沿 $y$ 轴向下平移 $n$ 个单位长度 $（ 0 ＜ n ＜ 6 ）$ ．曲线 $C_{1}$ 与直线 $B C$ 的公共点中，选两个公共点记作点 $P$ 和点 $Q$ ，若四边形 $C' G' Q P$ 是平行四边形，直接写出点 $P$ 的坐标．

【特例感知】

（1）如图1， $△ A O B$ 和 $△ C O D$ 是等腰直角三角形， $∠ A O B ＝ ∠ C O D ＝ 90 °$ ，点 $C$ 在 $O A$ 上，点 $D$ 在 $B O$ 的延长线上，连接 $A D ， B C$ ，线段 $A D$ 与 $B C$ 的数量关系是＿＿＿＿＿＿；

【类比迁移】

（2）如图2，将图1中的 $△ C O D$ 绕着点 $O$ 顺时针旋转 $α （ 0 ° ＜ α ＜ 90 ° ）$ ，那么第（1）问的结论是否仍然成立？如果成立，证明你的结论；如果不成立，说明理由．

【方法运用】

（3）如图3，若 $A B ＝ 8$ ，点 $C$ 是线段 $A B$ 外一动点， $A C ＝ 3 \sqrt{3}$ ，连接 $B C$ ．

①若将 $C B$ 绕点 $C$ 逆时针旋转 $90 °$ 得到 $C D$ ，连接 $A D$ ，则 $A D$ 的最大值是＿＿＿＿＿＿；

②若以 $B C$ 为斜边作 $R t △ B C D$ （ $B ， C ， D$ 三点按顺时针排列）， $∠ C D B ＝ 90 °$ ，连接 $A D$ ，当 $∠ C B D ＝ ∠ D A B ＝ 30 °$ 时，直接写出 $A D$ 的值．

如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y ＝ k x + b$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B （ 0 ， 9 ）$ ，与直线 $O C$ 交于点．

（1）求直线 $A B$ 的函数表达式；

（2）过点 $C$ 作 $C D ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，将 $△ A C D$ 沿射线 $C B$ 平移得到的三角形记为 $△ A' C' D'$ ，点 $A ， C ， D$ 的对应点分别为 $A' ， C' ， D'$ ，若 $△ A' C' D'$ 与 $△ B O C$ 重叠部分的面积为 $S$ ，平移的距离 $C C' ＝ m$ ，当点 $A'$ 与点 $B$ 重合时停止运动．

①若直线 $C' D'$ 交直线 $O C$ 于点 $E$ ，则线段 $C' E$ 的长为＿＿＿＿＿＿（用含有 $m$ 的代数式表示）；

②当 $0 ＜ m ＜ \frac{10}{3}$ 时， $S$ 与 $m$ 的关系式为＿＿＿＿＿＿；

③当 $S = \frac{24}{5}$ 时， $m$ 的值为＿＿＿＿＿＿．

如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $A B C D$ ， $A D$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A D ， B C$ 的延长线交于点 $E$ ，延长 $C B$ 交 $P A$ 于点 $P$ ， $∠ B A P + ∠ D C E ＝ 90 °$ ．

（1）求证： $P A$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）连接 $A C$ ， $\sin ∠ B A C = \frac{1}{3}$ ， $B C ＝ 2$ ， $A D$ 的长为＿＿＿＿＿＿．

如图，用一根 $60$ 厘米的铁丝制作一个“日”字型框架 $A B C D$ ，铁丝恰好全部用完．

（1）若所围成的矩形框架 $A B C D$ 的面积为 $144$ 平方厘米，则 $A B$ 的长为多少厘米？

（2）矩形框架 $A B C D$ 面积的最大值为＿＿＿＿＿＿平方厘米．