在平面直角坐标系中，ΔABC的三个顶点坐标分别是A(−1,1-优题课

在平面直角坐标系中， $ΔABC$ 的三个顶点坐标分别是 $A (- 1, 1)$ ， $B (- 4, 1)$ ， $C (- 3, 3)$

（1）将 $ΔABC$ 向下平移5个单位长度后得到△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ，请画出△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；并判断以 $O$ ， $A_{1}$ ， $B$ 为顶点的三角形的形状（直接写出结果）；

（2）将 $ΔABC$ 绕原点 $O$ 顺时针旋转 $90 °$ 后得到△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ ，请画出△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ ，并求出点 $C$ 旋转到 $C_{2}$ 所经过的路径长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：作图-平移变换作图-旋转变换扇形面积的计算等腰直角三角形

抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + mx + 2$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，已知点 $A$ 的坐标为 $(- 1, 0)$ ， $P$ 为抛物线第一象限上一点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，连接 $PA$ ， $PB$ ，若 $∠ PBA = 45 °$ ，求 $ΔPAB$ 的面积；

（3）如图2，连接 $PA$ ， $PC$ ，若 $∠ APC = 2 ∠ PAB$ ，求点 $P$ 的坐标．

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，点 $O$ 在 $AC$ 上，以 $OC$ 为半径作 $⊙ O$ ，与 $BC$ 相交于点 $D$ ，与 $AB$ 相切于点 $E$ ，过点 $D$ 作 $DF ⊥ AB$ ，垂足为 $F$ ．

（1）求证： $DF$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $\tan ∠ A = \frac{3}{4}$ ， $BF = 2$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

如图，学校的教学楼对面是一幢办公楼，教学楼与办公楼的水平距离 $BC = 30 m$ ，卓玛在教学楼顶部 $A$ 处测得办公楼顶部 $D$ 处的俯角 $α$ 为 $30 °$ ，测得办公楼底部 $C$ 处俯角 $β$ 为 $60 °$ ，求办公楼的高 $CD$ ．（结果保留根号）

列方程（组 $)$ 解应用题

为了绿化校园环境，某学习小组共10人去校园空地参加植树活动，其中男生每人植树2棵，女生每人植树1棵，该小组一共植树16棵，问男生与女生各多少人？

如图，在平行四边形 $ABCD$ 中， $E$ 是 $AD$ 边上的中点，连接 $BE$ 并延长交 $CD$ 的延长线于点 $F$ ．

求证： $DF = DC$ ．