甲、乙、丙、丁四人玩扑克牌游戏，他们先取出两张红心和两张黑桃-优题课

甲、乙、丙、丁四人玩扑克牌游戏，他们先取出两张红心和两张黑桃共四张扑克牌，洗匀后背面朝上放在桌面上，每人抽取其中一张，拿到相同颜色的即为游戏搭档，现甲、乙两人各抽取了一张，求两人恰好成为游戏搭档的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）.

科目数学题型解答题难度中等

知识点：列表法与树状图法

如图，在正方形 $ABCD$ 中，点 $G$ 在边 $BC$ 上（不与点 $B$ ， $C$ 重合），连接 $AG$ ，作 $DE ⊥ AG$ 于点 $E$ ， $BF ⊥ AG$ 于点 $F$ ，设 $\frac{BG}{BC} = k$ ．

（1）求证： $AE = BF$ ．

（2）连接 $BE$ ， $DF$ ，设 $∠ EDF = α$ ， $∠ EBF = β$ ．求证： $\tan α = k \tan β$ ．

（3）设线段 $AG$ 与对角线 $BD$ 交于点 $H$ ， $ΔAHD$ 和四边形 $CDHG$ 的面积分别为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，求 $\frac{S_{2}}{S_{1}}$ 的最大值．

设二次函数 $y = a x^{2} + bx - (a + b) (a$ ， $b$ 是常数， $a \neq 0)$ ．

（1）判断该二次函数图象与 $x$ 轴的交点的个数，说明理由．

（2）若该二次函数图象经过 $A (- 1, 4)$ ， $B (0, - 1)$ ， $C (1, 1)$ 三个点中的其中两个点，求该二次函数的表达式．

（3）若 $a + b < 0$ ，点 $P (2$ ， $m) (m > 0)$ 在该二次函数图象上，求证： $a > 0$ ．

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ，以点 $B$ 为圆心， $BC$ 长为半径画弧，交线段 $AB$ 于点 $D$ ；以点 $A$ 为圆心， $AD$ 长为半径画弧，交线段 $AC$ 于点 $E$ ，连接 $CD$ ．

（1）若 $∠ A = 28 °$ ，求 $∠ ACD$ 的度数．

（2）设 $BC = a$ ， $AC = b$ ．

①线段 $AD$ 的长是方程 $x^{2} + 2 ax - b^{2} = 0$ 的一个根吗？说明理由．

②若 $AD = EC$ ，求 $\frac{a}{b}$ 的值．

设一次函数 $y = kx + b (k$ ， $b$ 是常数， $k \neq 0)$ 的图象过 $A (1, 3)$ ， $B (- 1, - 1)$ 两点．

（1）求该一次函数的表达式；

（2）若点 $(2 a + 2, a^{2})$ 在该一次函数图象上，求 $a$ 的值．

（3）已知点 $C (x_{1}$ ， $y_{1})$ 和点 $D (x_{2}$ ， $y_{2})$ 在该一次函数图象上，设 $m = (x_{1} - x_{2}) (y_{1} - y_{2})$ ，判断反比例函数 $y = \frac{m + 1}{x}$ 的图象所在的象限，说明理由．

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ， $AD$ 为 $BC$ 边上的中线， $DE ⊥ AB$ 于点 $E$ ．

（1）求证： $ΔBDE ∽ ΔCAD$ ．

（2）若 $AB = 13$ ， $BC = 10$ ，求线段 $DE$ 的长．