如图，在ΔABC中，ABAC，过AC延长线上的点O作OD⊥A-优题课

如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = AC$ ，过 $AC$ 延长线上的点 $O$ 作 $OD ⊥ AO$ ，交 $BC$ 的延长线于点 $D$ ，以 $O$ 为圆心， $OD$ 长为半径的圆过点 $B$ ．

（1）求证：直线 $AB$ 与 $⊙ O$ 相切；

（2）若 $AB = 5$ ， $⊙ O$ 的半径为12，则 $\tan ∠ BDO =$ 　　．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：锐角三角函数的定义切线的判定等腰三角形的性质直角三角形的性质勾股定理

如图，锐角 $△ ABC$ 中， $∠ A, ∠ B, ∠ C$ 的对边分别是 $a, b, c$ ，已知二次函数 $y = x^{2} cos A - x + \frac{1}{cos A}$ 的图象顶点与点 $(- 2 cos A, 3 cos A)$ 关于 $y$ 轴对称.延长 $AB$ 至 $P$ 点，使 $AP = 2 AC$ ，且以 $C$ 为圆心， $AC$ 为半径的圆与以 $B$ 为圆心 $BP$ 为半径的圆相外切.

（1）求 $∠ A$ 的度数;

（2）设 $BP = r$ ，求 $a : b : c$ 的值;

（3）若关于 $t$ 的方程 $3 t^{2} - 3 ct + (a + b) = 0$ 的两个根 $α, β$ 满足 $α (α + 1) + β (β + 1) = (α + 1) (β + 1)$ ，求 $△ ABC$ 的面积.

如图，已知直线 $l : y = kx + 2 (k < 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $A$ ，与 $x$ 轴交于点 $B$ ，以 $OA$ 为直径的 $⊙ P$ 交 $l$ 于另一点 $D$ ，把弧 $AD$ 沿直线 $l$ 翻转后与 $OA$ 交于点 $E$ .

（1）当 $k = - 2$ 时，求 $OE$ 的长;

（2）是否存在实数 $k (k < 0)$ ，使沿直线 $l$ 把弧 $AD$ 翻转后所得的弧与 $OA$ 相切?若存在，请求出此时 $k$ 的值;若不存在，请说明理由.

如图所示，在平面直角坐标系中， $⊙ O_{1}$ 与 $x$ 轴交于 $A (2, 0), B (t + 2, 0)$ （且 $t > 0)$ 两点，与 $y$ 轴相切于点 $C, AB = AC$ .

（1）求点 $C, O_{1}$ 的坐标和 $t$ 的值;

（2）求过点 $A, B, C$ 的抛物线解析式;

（3）若抛物线顶点为 $D$ ，判断点 $D$ 与 $⊙ O_{1}$ 的位置关系，并求出 $△ ABD$ 的外接圆半径.

如图①， $P$ 为第一象限内一点，过 $P, O$ 两点的 $⊙ M$ 交 $x$ 轴正半轴于点 $A$ ，交 $y$ 轴正半轴于点 $B, ∠ OPA = 45^{\circ}$ .

（1）求证: $PO$ 平分 $∠ APB$ ;

（2）作 $OH ⊥ P A$ 交弦 $PA$ 于点 $H$ .

①若 $AH = 2, OH + PB = 8$ ，求 $BP$ 的长;

②若 $BP = m, OH = n$ ，把 $△ POB$ 沿 $y$ 轴翻折，得到 $△ P^{'} OB$ （如图②），求 $A P^{'}$ 的长.

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，过点 $B$ 作 $⊙ O$ 的切线 $BM$ ，点 $P$ 在右半圆上移动（点 $P$ 与点 $A, B$ 不重合），过点 $P$ 作 $PC ⊥ AB$ ，垂足为 $C$ .点 $Q$ 在射线 $BM$ 上移动（点 $M$ 在点 $B$ 的右边），且在移动过程中保持 $OQ / / AP$ .

（1）若 $PC, QO$ 的延长线相交于点 $E$ ，判断是否存在点 $P$ ，使得点 $E$ 恰好在 $⊙ O$ 上?若存在，求出 $∠ APC$ 的大小；若不存在，请说明理由；

（2）连接 $AQ$ 交 $PC$ 于点 $F$ ，设 $k = \frac{PF}{PC}$ ，试问: $k$ 的值是否随点 $P$ 的移动而变化?证明你的结论.