对于坐标平面内的点，现将该点向右平移1个单位，再向上平移2个-优题课

对于坐标平面内的点，现将该点向右平移1个单位，再向上平移2个单位，这种点的运动称为点 $A$ 的斜平移，如点 $P (2, 3)$ 经1次斜平移后的点的坐标为 $(3, 5)$ ，已知点 $A$ 的坐标为 $(1, 0)$ ．

（1）分别写出点 $A$ 经1次，2次斜平移后得到的点的坐标．

（2）如图，点 $M$ 是直线 $l$ 上的一点，点 $A$ 关于点 $M$ 的对称点为点 $B$ ，点 $B$ 关于直线 $l$ 的对称点为点 $C$ ．

①若 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三点不在同一条直线上，判断 $ΔABC$ 是否是直角三角形？请说明理由．

②若点 $B$ 由点 $A$ 经 $n$ 次斜平移后得到，且点 $C$ 的坐标为 $(7, 6)$ ，求出点 $B$ 的坐标及 $n$ 的值．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：平移的性质中心对称几何变换综合题直角三角形的性质

已知抛物线 $C : y = x^{2} - 2 x + 1$ 的顶点为 $P$ ，与 $y$ 轴的交点为 $Q$ ，点 $F (1, \frac{1}{2})$ ．

（Ⅰ）求点 $P$ ， $Q$ 的坐标；

（Ⅱ）将抛物线 $C$ 向上平移得到抛物线 $C'$ ，点 $Q$ 平移后的对应点为 $Q'$ ，且 $FQ' = OQ'$ ．

①求抛物线 $C'$ 的解析式；

②若点 $P$ 关于直线 $Q' F$ 的对称点为 $K$ ，射线 $FK$ 与抛物线 $C'$ 相交于点 $A$ ，求点 $A$ 的坐标．

在平面直角坐标系中， $O$ 为原点，点 $A (4, 0)$ ，点 $B (0, 3)$ ，把 $ΔABO$ 绕点 $B$ 逆时针旋转，得△ $A' BO'$ ，点 $A$ ， $O$ 旋转后的对应点为 $A'$ ， $O'$ ，记旋转角为 $α$ ．

（Ⅰ）如图①，若 $α = 90 °$ ，求 $AA'$ 的长；

（Ⅱ）如图②，若 $α = 120 °$ ，求点 $O'$ 的坐标；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，边 $OA$ 上的一点 $P$ 旋转后的对应点为 $P'$ ，当 $O' P + BP'$ 取得最小值时，求点 $P'$ 的坐标（直接写出结果即可）

公司有330台机器需要一次性运送到某地，计划租用甲、乙两种货车共8辆，已知每辆甲种货车一次最多运送机器45台、租车费用为400元，每辆乙种货车一次最多运送机器30台、租车费用为280元

（Ⅰ）设租用甲种货车 $x$ 辆 $(x$ 为非负整数），试填写表格．

表一：

租用甲种货车的数量 $/$ 辆	3	7	$x$
租用的甲种货车最多运送机器的数量 $/$ 台	135
租用的乙种货车最多运送机器的数量 $/$ 台	150

表二：

租用甲种货车的数量 $/$ 辆	3	7	$x$
租用甲种货车的费用 $/$ 元		2800
租用乙种货车的费用 $/$ 元		280

（Ⅱ）给出能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案，并说明理由．

小明上学途中要经过 $A$ ， $B$ 两地，由于 $A$ ， $B$ 两地之间有一片草坪，所以需要走路线 $AC$ ， $CB$ ，如图，在 $ΔABC$ 中， $AB = 63 m$ ， $∠ A = 45 °$ ， $∠ B = 37 °$ ，求 $AC$ ， $CB$ 的长．（结果保留小数点后一位）

参考数据： $\sin 37 ° \approx 0.60$ ， $\cos 37 ° \approx 0.80$ ， $\tan 37 ° \approx 0.75$ ， $\sqrt{2}$ 取1.414．

在 $⊙ O$ 中， $AB$ 为直径， $C$ 为 $⊙ O$ 上一点．

（Ⅰ）如图1．过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线，与 $AB$ 的延长线相交于点 $P$ ，若 $∠ CAB = 27 °$ ，求 $∠ P$ 的大小；

（Ⅱ）如图2， $D$ 为 $\hat{AC}$ 上一点，且 $OD$ 经过 $AC$ 的中点 $E$ ，连接 $DC$ 并延长，与 $AB$ 的延长线相交于点 $P$ ，若 $∠ CAB = 10 °$ ，求 $∠ P$ 的大小．