如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD)靠墙摆放-优题课

如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形 $ABCD)$ 靠墙摆放，高 $AD = 80 cm$ ，宽 $AB = 48 cm$ ，小强身高 $166 cm$ ，下半身 $FG = 100 cm$ ，洗漱时下半身与地面成 $80 ° (∠ FGK = 80 °)$ ，身体前倾成 $125 ° (∠ EFG = 125 °)$ ，脚与洗漱台距离 $GC = 15 cm$ （点 $D$ ， $C$ ， $G$ ， $K$ 在同一直线上）．

（1）此时小强头部 $E$ 点与地面 $DK$ 相距多少？

（2）小强希望他的头部 $E$ 恰好在洗漱盆 $AB$ 的中点 $O$ 的正上方，他应向前或后退多少？

$(\sin 80 ° \approx 0.98$ ， $\cos 80 ° \approx 0.17$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ，结果精确到 $0.1)$

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形的应用

如图，点 $O$ 是线段 $AB$ 的中点， $OD / / BC$ 且 $OD = BC$ ．

（1）求证： $ΔAOD ≅ ΔOBC$ ；

（2）若 $∠ ADO = 35 °$ ，求 $∠ DOC$ 的度数．

计算： ${(1 - π)}^{0} + | \sqrt{2} - \sqrt{3} | - \sqrt{12} + {(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{- 1}$ ．

如图，在以点 $O$ 为中心的正方形 $ABCD$ 中， $AD = 4$ ，连接 $AC$ ，动点 $E$ 从点 $O$ 出发沿 $O \to C$ 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点 $C$ 停止．在运动过程中， $ΔADE$ 的外接圆交 $AB$ 于点 $F$ ，连接 $DF$ 交 $AC$ 于点 $G$ ，连接 $EF$ ，将 $ΔEFG$ 沿 $EF$ 翻折，得到 $ΔEFH$ ．

（1）求证： $ΔDEF$ 是等腰直角三角形；

（2）当点 $H$ 恰好落在线段 $BC$ 上时，求 $EH$ 的长；

（3）设点 $E$ 运动的时间为 $t$ 秒， $ΔEFG$ 的面积为 $S$ ，求 $S$ 关于时间 $t$ 的关系式．

在平面直角坐标系中，将二次函数 $y = a x^{2} (a > 0)$ 的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与 $x$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左侧）， $OA = 1$ ，经过点 $A$ 的一次函数 $y = kx + b (k \neq 0)$ 的图象与 $y$ 轴正半轴交于点 $C$ ，且与抛物线的另一个交点为 $D$ ， $ΔABD$ 的面积为5．

（1）求抛物线和一次函数的解析式；

（2）抛物线上的动点 $E$ 在一次函数的图象下方，求 $ΔACE$ 面积的最大值，并求出此时点 $E$ 的坐标；

（3）若点 $P$ 为 $x$ 轴上任意一点，在（2）的结论下，求 $PE + \frac{3}{5} PA$ 的最小值．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 为 $\hat{BD}$ 的中点， $CF$ 为 $⊙ O$ 的弦，且 $CF ⊥ AB$ ，垂足为 $E$ ，连接 $BD$ 交 $CF$ 于点 $G$ ，连接 $CD$ ， $AD$ ， $BF$ ．

（1）求证： $ΔBFG ≅ ΔCDG$ ；

（2）若 $AD = BE = 2$ ，求 $BF$ 的长．

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