如图，D是ΔABC的BC边上一点，连接AD，作ΔABD的外接-优题课

如图， $D$ 是 $ΔABC$ 的 $BC$ 边上一点，连接 $AD$ ，作 $ΔABD$ 的外接圆，将 $ΔADC$ 沿直线 $AD$ 折叠，点 $C$ 的对应点 $E$ 落在 $⊙ O$ 上．

（1）求证： $AE = AB$ ．

（2）若 $∠ CAB = 90 °$ ， $\cos ∠ ADB = \frac{1}{3}$ ， $BE = 2$ ，求 $BC$ 的长．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形三角形的外接圆与外心翻折变换（折叠问题）

在菱形 $ABCD$ 中，点 $E$ 为对角线 $BD$ 上一点，点 $F$ ， $G$ 在直线 $BC$ 上，且 $BE = EG$ ， $∠ AEF = ∠ BEG$ ．

（1）如图1，求证： $ΔABE ≅ ΔFGE$ ；

（2）如图2，当 $∠ ABC = 120 °$ 时，求证： $AB = BE + BF$ ；

（3）如图3，当 $∠ ABC = 90 °$ ，点 $F$ 在线段 $BC$ 上时，线段 $AB$ ， $BE$ ， $BF$ 的数量关系如何？（请直接写出你猜想的结论）

随着京沈客运专线即将开通，阜新将进入方便快捷的“高铁时代”，从我市到 $A$ 市若乘坐普通列车，路程为 $650 km$ ，而乘坐高铁列车则为 $520 km$ ，高铁列车的平均速度是普通列车的4倍，乘坐高铁列车从我市到 $A$ 市所需时间比乘坐普通列车缩短 $8 h$ ．

（1）求高铁列车的平均速度；

（2）高铁开通后，从我市乘坐高铁列车到 $A$ 市需要多长时间？

我市某中学为了解学生的课外阅读情况，就“你每天的课外阅读时间是多少”这一问题随机抽取了部分学生进行调查，调查结果分为四组进行统计，其中 $A$ 组为 $t < 0.5 h$ ， $B$ 组为 $0.5 h ⩽ t < 1 h$ ， $C$ 组为 $1 h ⩽ t < 1.5 h$ ， $D$ 组为 $t ⩾ 1.5 h$ ，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题：

（1）本次调查共抽取了　　名学生，扇形统计图中 $A$ 部分圆心角的度数为　　；

（2）补全条形统计图；

（3）若该中学有学生1200人，估计该校大约有多少名学生每天阅读时间不少于 $1.5 h$ ．

如图， $ΔABC$ 在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为 $A (- 1, 5)$ ， $B (- 4, 2)$ ， $C (- 2, 2)$ ．

（1）平移 $ΔABC$ ，使点 $B$ 移动到点 $B_{1} (1, 1)$ ，画出平移后的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并写出点 $A_{1}$ ， $C_{1}$ 的坐标．

（2）画出 $ΔABC$ 关于原点 $O$ 对称的△ $A_{2} B_{2} C_{2}$ ．

（3）线段 $A A_{1}$ 的长度为　　．

如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 4$ 交 $y$ 轴于点 $A$ ，并经过 $B (4, 4)$ 和 $C (6, 0)$ 两点，点 $D$ 的坐标为 $(4, 0)$ ，连接 $AD$ ， $AB$ ， $BC$ ，点 $E$ 从点 $A$ 出发，以每秒 $\sqrt{2}$ 个单位长度的速度沿线段 $AD$ 向点 $D$ 运动，到达点 $D$ 后，以每秒1个单位长度的速度沿射线 $DC$ 运动，设点 $E$ 的运动时间为 $t$ 秒，过点 $E$ 作 $AB$ 的垂线 $EF$ 交直线 $AB$ 于点 $F$ ，以线段 $EF$ 为斜边向右作等腰直角 $ΔEFG$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点 $G$ 落在第一象限内的抛物线上时，求出 $t$ 的值；

（3）设点 $E$ 从点 $A$ 出发时，点 $E$ ， $F$ ， $G$ 都与点 $A$ 重合，点 $E$ 在运动过程中，当 $ΔBCG$ 的面积为4时，直接写出相应的 $t$ 值，并直接写出点 $G$ 从出发到此时所经过的路径长．