对给定的一张矩形纸片ABCD进行如下操作：先沿CE折叠，使点-优题课

对给定的一张矩形纸片 $ABCD$ 进行如下操作：先沿 $CE$ 折叠，使点 $B$ 落在 $CD$ 边上（如图① $)$ ，再沿 $CH$ 折叠，这时发现点 $E$ 恰好与点 $D$ 重合（如图② $)$

（1）根据以上操作和发现，求 $\frac{CD}{AD}$ 的值；

（2）将该矩形纸片展开．

①如图③，折叠该矩形纸片，使点 $C$ 与点 $H$ 重合，折痕与 $AB$ 相交于点 $P$ ，再将该矩形纸片展开．求证： $∠ HPC = 90 °$ ；

②不借助工具，利用图④探索一种新的折叠方法，找出与图③中位置相同的 $P$ 点，要求只有一条折痕，且点 $P$ 在折痕上，请简要说明折叠方法．（不需说明理由）

科目数学题型解答题难度中等

如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（﹣1，3）、（﹣4，1）（﹣2，1），先将△ABC沿一确定方向平移得到△A₁B₁C₁，点B的对应点B₁的坐标是（1，2），再将△A₁B₁C₁绕原点O顺时针旋转90°得到△A₂B₂C₂，点A₁的对应点为点A₂．

（1）画出△A₁B₁C₁；

（2）画出△A₂B₂C₂；

（3）求出在这两次变换过程中，点A经过点A₁到达A₂的路径总长．

先化简，再求值： $(1 + \frac{1}{x - 2}) \div \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x - 2}$ ，其中 $x ＝ 4 ﹣ \tan 45 °$ ．

如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点O是坐标原点，点A在第一象限，点C在第四象限，点B在x轴的正半轴上． $∠ OAB ＝ 90 °$ 且 $OA ＝ AB$ ，OB，OC的长分别是一元二次方程 $x^{2} ﹣ 11 x + 30 ＝ 0$ 的两个根 $（ OB ＞ OC ）$ ．

（1）求点A和点B的坐标．

（2）点P是线段OB上的一个动点（点P不与点O，B重合），过点P的直线l与y轴平行，直线l交边OA或边AB于点Q，交边OC或边BC于点R．设点P的横坐标为t，线段QR的长度为m．已知 $t ＝ 4$ 时，直线l恰好过点C．当 $0 ＜ t ＜ 3$ 时，求m关于t的函数关系式．

（3）当 $m ＝ 3.5$ 时，请直接写出点P的坐标．

“全民阅读”深入人心，读好书让人终身受益．为打造书香校园，满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和科技阅读两类图书．经了解，20本文学名著和40本科技阅读共需1520元，一本文学名著比一本科技阅读多22元（注：所采购的文学名著书价格都一样，所采购的科技阅读书价格都一样）．

（1）求每本文学名著和科技阅读各多少元？

（2）若学校要求购买科技阅读比文学名著多20本，科技阅读和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请你为学校求出符合条件的购书方案．

（3）请在（2）的条件下，请你求出此次活动学校最多需投入资金多少元？

已知：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上的一个动点（点P不与点A、C重合），分别过点A、C向直线BD作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点．

（1）当点P与点O重合时如图1，易证 $OE ＝ OF$ （不需证明）

（2）直线BP绕点B逆时针方向旋转，当 $∠ OFE ＝ 30 °$ 时，如图2、图3的位置，猜想线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请写出你对图2、图3的猜想，并选择一种情况给予证明．