如图，过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直-优题课

如图，过 $▱ ABCD$ 对角线 $AC$ 与 $BD$ 的交点 $E$ 作两条互相垂直的直线，分别交边 $AB$ 、 $BC$ 、 $CD$ 、 $DA$ 于点 $P$ 、 $M$ 、 $Q$ 、 $N$ ．

（1）求证： $ΔPBE ≅ ΔQDE$ ；

（2）顺次连接点 $P$ 、 $M$ 、 $Q$ 、 $N$ ，求证：四边形 $PMQN$ 是菱形．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：菱形的判定全等三角形的判定与性质

某校300名学生参加植树活动，要求每人植树 $2 - 5$ 棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四类： $A$ 类2棵、 $B$ 类3棵、 $C$ 类4棵、 $D$ 类5棵，将各类的人数绘制成不完整的条形统计图（如图所示），回答下列问题：

（1） $D$ 类学生有多少人？

（2）估计这300名学生共植树多少棵？

如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 都是格点．

（1）画出 $ΔABC$ 关于直线 $BM$ 对称的△ $A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

（2）写出 $A A_{1}$ 的长度．

如图1， $ΔABC$ 是边长为 $4 cm$ 的等边三角形，边 $AB$ 在射线 $OM$ 上，且 $OA = 6 cm$ ，点 $D$ 从 $O$ 点出发，沿 $OM$ 的方向以 $1 cm / s$ 的速度运动，当 $D$ 不与点 $A$ 重合时，将 $ΔACD$ 绕点 $C$ 逆时针方向旋转 $60 °$ 得到 $ΔBCE$ ，连接 $DE$ ．

（1）求证： $ΔCDE$ 是等边三角形；

（2）如图2，当 $6 < t < 10$ 时， $ΔBDE$ 的周长是否存在最小值？若存在，求出 $ΔBDE$ 的最小周长；若不存在，请说明理由；

（3）如图3，当点 $D$ 在射线 $OM$ 上运动时，是否存在以 $D$ 、 $E$ 、 $B$ 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时 $t$ 的值；若不存在，请说明理由．

如图，已知抛物线 $y = a x^{2} + \frac{8}{5} x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ，且 $A (2, 0)$ ， $C (0, - 4)$ ，直线 $l : y = - \frac{1}{2} x - 4$ 与 $x$ 轴交于点 $D$ ，点 $P$ 是抛物线 $y = a x^{2} + \frac{8}{5} x + c$ 上的一动点，过点 $P$ 作 $PE ⊥ x$ 轴，垂足为 $E$ ，交直线 $l$ 于点 $F$ ．

（1）试求该抛物线表达式；

（2）如图（1），当点 $P$ 在第三象限，四边形 $PCOF$ 是平行四边形，求 $P$ 点的坐标；

（3）如图（2），过点 $P$ 作 $PH ⊥ y$ 轴，垂足为 $H$ ，连接 $AC$ ．

①求证： $ΔACD$ 是直角三角形；

②试问当 $P$ 点横坐标为何值时，使得以点 $P$ 、 $C$ 、 $H$ 为顶点的三角形与 $ΔACD$ 相似？

设 $a$ 、 $b$ 是任意两个实数，用 $\max {a$ ， $b}$ 表示 $a$ 、 $b$ 两数中较大者，例如： $\max {- 1$ ， $- 1} = - 1$ ， $\max {1$ ， $2} = 2$ ， $\max {4$ ， $3} = 4$ ，参照上面的材料，解答下列问题：

（1） $\max {5$ ， $2} =$ 　　， $\max {0$ ， $3} =$ 　　；

（2）若 $\max {3 x + 1$ ， $- x + 1} = - x + 1$ ，求 $x$ 的取值范围；

（3）求函数 $y = x^{2} - 2 x - 4$ 与 $y = - x + 2$ 的图象的交点坐标，函数 $y = x^{2} - 2 x - 4$ 的图象如图所示，请你在图中作出函数 $y = - x + 2$ 的图象，并根据图象直接写出 $\max {- x + 2$ ， $x^{2} - 2 x - 4}$ 的最小值．